§ 7. Нахождение главных напряжений и главных осей.

Вопрос о нахождении главных напряжений и соответствующих главных осей сводится, как мы видели, к отысканию такой системы координат, в которой квадратичная форма принимает «канонический» вид:

Это эквивалентно нахождению главных диаметров поверхности напряжений, т. е. приведению ее уравнения к виду

Решение этого вопроса можно найти в любом курсе аналитической геометрии или высшей алгебры. Оно дано также в Добавлений I в конце книги.

Напомним, что значения коэффициентов уравнения (1), т. е. значения главных напряжений, являются корнями уравнения третьей степени относительно

где для краткости введены обозначения:

или в раскрытом виде

Так как корни не зависят от выбора осей координат, то коэффициенты уравнения (2), т. е. величины также не должны зависеть от него. Иными словами, эти выражения инвариантны по

отношению к преобразованию прямоугольных, прямолинейных осей. Инвариантность выражения

была уже доказана выше непосредственной проверкой. Это обстоятельство очевидно также на основании того, что сумма корней уравнения (2) должна равняться коэффициенту , откуда следует: