§ 151а. Некоторые конкретные задачи.
Метод Д. И. Шермана применительно к плоским задачам теории упругости впервые был проиллюстрирован на сравнительно простом случае весомой полуплоскости, ослабленной двумя неодинаковыми круговыми отверстиями (Шерман [24]). В более поздних исследованиях того же автора (например, [29]) метод неоднократно подвергался существенной переработке. В результате удалось в значительной степени сократить число промежуточных этапов решения и объем вычислительных операций, что и позволило сделать весь процесс решения более обозримым и придать ему в основной своей части рекуррентный характер.
Впоследствии Д. И. Шерманом и его учениками был решен ряд конкретных задач плоской теории упругости, представляющих интерес с точки зрения приложений. Мы укажем на некоторые из них.
Самому Д. И. Шерману принадлежат решения задач об упругой весомой полуплоскости, ослабленной двумя заглубленными и близко расположенными одно относительно другого эллиптическим и круговым отверстиями [30], периодически расположенными отверстиями круговой и некруговой формы [31, 32] (см. также § 152), одним эллиптическим отверстием, расположенным близко от прямолинейной границы [33], и других аналогичных задач.
Л. Н. Кислер [1] решала задачу о весомой среде с эллиптическим и круговым отверстиями в несколько более общей постановке, когда
отверстия расположены одно относительно другого произвольно. Несколько модифицировав промежуточные этапы расчетного процесса, она значительно упростила вычислительную схему. Это позволило ей сравнительно легко выполнить численные расчеты и провести подробный анализ поля напряжений для некоторых, практически наиболее интересных случаев взаимного расположения отверстий. Частный случай двух круговых, несимметричных относительно прямолинейной границы отверстий изучался Л. Н. Кислер несколько ранее [2].
И. Г. Араманович [1] рассмотрел практически интересную задачу о напряжениях в упругой полуплоскости с незаглубленным отверстием круговой формы, подкрепленным упругим же кольцом из другого материала. Внешние воздействия здесь могут быть разнообразными, как, например, нормальное давление на внутреннем контуре впаянного кольца, растяжение полуплоскости параллельными прямолинейной границе силами, сосредоточенная нагрузка на краю полуплоскости и др.
Применяя изложенный выше метод, И. Г. Араманович построил интегральное уравнение Фредгольма на действительной оси. Интегральное уравнение заменяется затем бесконечной системой алгебраических линейных уравнений, квазирегулярной при любой близости кругового отверстия к краю полуплоскости. Из рассмотренных в той же работе конкретных примеров, детально разобранных до конца и доведенных до численных результатов, особый интерес представляет случай близких между собой границ.
В другой работе И. Г. Арамановича 12] рассматривается случай полуплоскости, ослабленной круговым отверстием, когда на прямолинейной границе среды задаются условия смешанного типа (равновесие жестокого штампа на границе полуплоскости, ослабленной отверстием). Несколько видоизменяя метод Д. И. Шермана, автор сначала сводит задачу к интегральному уравнению Фредгольма, а затем к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, квазирегулярной при любых относительных размерах области.
Впоследствии этот же метод неоднократно применялся к изучению напряженного состояния конечных и бесконечных двусвязных областей при довольно общих конфигурациях их границ (Перлин [3, 4], Гурьев [1], Мошкин [1, 2]).
Упомянем, далее, некоторые другие работы о двусвязных областях, выполненные различными способами.
М. 3. Народецкий [1] построил решение в специальном случае неограниченной пластинки с двумя круговыми отверстиями, когда внешние усилия, действующие на среду, представляют собой равномерные нормальные давления на контурах отверстий. В работах Соломона и Дрэгическу (Solomon, Draghicescu [1]), а также Сейка (Seika [1]) дается применение обобщенного алгоритма Шварца для некоторых конечных областей. В первой из названных работ рассмотрен квадрат, ослабленный
симметричным квадратным отверстием, при простейшем нагружении, а во второй — конфокальное эллиптическое кольцо, сжатое цвумя противоположными сосредоточенными силами, приложенными к точкам внешнего контура и направленными вдоль большой оси эллипса. Анализ в обоих случаях базируется на методах Мусхелишвили, используемых для решения последовательно чередующихся плоских задач для внутренних и внешних односвязных областей; в случае квадратов используются конформное отображение (посредством интеграла Кристофеля — Шварца) и интегралы типа Коши, в случае же эллипсов — отображение на круговое кольцо с последующим применением степенных рядов. На конкретных примерах проведены подробные вычисления. Позже в работе Сейка (Seika [2]) рассмотрен случай круга, симметрично ослабленного квадратным отверстием.
Более прямой и удобный алгоритм для софокусного эллиптического кольца был ранее предложен М. П. Шереметьевым [2], удачно применившим метод функциональных уравнений Мусхелишвили в соединении с методом степенных рядов. Этот подход позволит, по-видимому, получить сравнительно простые решения и в некоторых других случаях.
В работе Ю (Yi-Yuan Yu [2]) исследована методом степенных рядов весьма интересная задача о тяжелом круговом кольце, опертом в одной точке. В статье М. 3. Народецкого [2] рассмотрен квадрат, симметрично ослабленный круговым вырезом; на противоположных сторонах квадрата приложены равномерные растягивающие усилия. Приближенные выражения для искомых комплексных потенциалов автор берет в виде специально подобранных полиномов от 
и получает для определения неизвестных коэффициентов полиномов конечную систему линейных алгебраических уравнений. Для некоторых конкретных значений параметров проведены численные расчеты и построены эпюры нормальных напряжений на контуре отверстия.
