§ 27. Основные уравнения плоской теории упругости.

Мы видели, что в обоих случаях, рассмотренных в двух предыдущих параграфах, дело сводится к рассмотрению системы уравнений:

где

Только в случае § 26 («обобщенное плоское напряженное состояние») следует заменить компоненты смещения, напряжения и объемной силы, входящие в эти уравнения, их средними значениями по толщине пластинки, а постоянную X — величиной X, определяемой формулой (3) § 26.

Все сказанное в дальнейшем относится к обоим упомянутым случаям.

Так как все величины зависят только от х, у, то мы, конечно, можем ограничиться рассмотрением точек, расположенных в плоскости которую мы считаем плоскостью одного из нормальных сечений рассматриваемого цилиндра, в частности средней плоскостью в случае § 26. Поэтому, когда мы будем говорить, например, об области, занятой телом, мы будем обычно подразумевать двумерную область, а именно: сечение тела плоскостью

Далее, вместо того, чтобы говорить об усилиях, приложенных к площадкам, перпендикулярным к плоскости мы будем говорить об усилиях, приложенных к линейным элементам сечения Так, в случае § 25 мы будем говорить, что к линейному элементу приложено усилие с компонентами где нормаль к элементу на самом же деле это — компоненты по осям усилия, приложенного к прямоугольной площадке, перпендикулярной к плоскости с основанием и высотой, равной единице (компонента по оси Oz этого усилия равна нулю). В случае же § 26 под мы будем подразумевать величины, обозначенные в конце § 26 через

Будем считать, как и в главе I, что компоненты смещения — однозначные непрерывные функции, имеющие непрерывные производные вплоть до третьего порядка внутри области, занятой телом. Тогда на основании формул (2) компоненты напряжения будут однозначными функциями, имеющими непрерывные производные до второго порядка.

Так же, как и в общем случае (глава I, § 21), систему (1), (2) можно заменить системой, содержащей только смещения. Для этого достаточно положить в уравнениях § 21 или же просто подставить значения (2) в уравнения (1), что дает так же, как в § 21:

где А обозначает операцию Лапласа для двух переменных, т. е., например,

Если найдено какое-либо решение этой системы, то соответствующие напряжения найдутся по формулам (2) простым дифференцированием.

Нетрудно также составить уравнения, содержащие только напряжения. Мы увидим сейчас, что уравнения эти состоят из уравнений (1) и из одного дополнительного уравнения, заменяющего в нашем случае шесть условий совместимости Бельтрами — Мичелла. Это дополнительное уравнение выражает условие, которое должно быть соблюдено для того, чтобы к функциям удовлетворяющим уравнениям (1), можно было подобрать функции связанные с соотношениями (2).

Условие это можно было бы, разумеется, получить как частный случай из упомянутых условий совместимости, но мы предпочитаем вывести его заново. Мы приведем два вывода.

Первый вывод, как и вывод условий Бельтрами — Мичелла для общего случая, основан на условиях совместимости Сен-Венана.

В случае плоской деформации, когда не зависят от условия эти [§ 15, формулы (6)] сводятся, очевидно, к одному следующему:

Подставляя сюда значения

выводимые из формул (2), легко получаем:

Это и есть искомое условие. Его можно значительно упростить, если принять во внимание, что удовлетворяют уравнениям (1). Именно, дифференцируя первое из упомянутых уравнений по х, а второе по у и складывая, получаем:

Внося это значение для в предыдущее уравнение, будем иметь после очевидных упрощений:

Это и есть то дополнительное уравнение, которое следует присоединить к уравнениям (1) и которое выражает условие совместимости в плоской теории упругости.

При выводе мы исходили из условий совместимости Сен-Венана. Приведем еще один вывод, основанный непосредственно на уравнениях (1) и (2) плоской теории упругости, дающий попутно способ вычисления смещений по заданным компонентам напряжения (или, что все равно, по компонентам деформации), более элементарный и практически более удобный, чем указанный в § 15 для общего случая.

Так как вопрос заключается в нахождении условий, которым должны удовлетворять компоненты напряжения для того, чтобы существовали функции связанные с ними уравнениями (2), то попытаемся действительно вычислить по соотношениям (2), предполагая, что есть данное решение системы (1).

Первые два уравнения (2) могут быть переписаны так, если решить их относительно

Пусть некоторая (произвольная) точка тела. Ограничимся пока рассмотрением только тех точек которые расположены внутри некоторого прямоугольника с центром в не выходящего за пределы тела.

Уравнения (5) дают, если для краткости ввести обозначение

где не известные пока функции указанных аргументов. Полученные выражения удовлетворяют условиям (5), т. е. первым двум соотношениям (2).

Остается удовлетворить третьему из них. Подставляя в него найденные выражения (8), получаем, дифференцируя под знаком интеграла:

Этому соотношению можно удовлетворить только тогда, когда левая часть его может быть представлена как сумма двух функций, из которых одна зависит только от х, а другая — только от у. А для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы вторая производная левой части была тождественно равна нулю Дифференцируя левую часть один раз по х, а другой раз по у и приравнивая результат нулю, получаем как раз уравнение (6), откуда в свою очередь следует соотношение (7). Если условие (7) соблюдено, то левая часть формулы (9) имеет вид

и условие (9) сводится к условию

которое может иметь место только тогда, когда обе части равны одной и той же постоянной, которую мы обозначим через

Тогда из предыдущего равенства получаем:

где произвольные постоянные. Внося эти выражения в (8), найдем выражения для и определенные с точностью до слагаемых вида:

где произвольные постоянные.

Эти слагаемые выражают только жесткое перемещение тела (в своей плоскости) и никакого влияния на деформацию и напряжения не имеют. Постоянные получат вполне определенные значения, если задать значения компонент смещения и компоненты вращения

в какой-либо определенной точке рассматриваемой области, например в

Мы ограничились рассмотрением точек расположенных в прямоугольнике с центром в не выходящем из области, занятой телом. Для нахождения значений в других точках области возьмем какую-либо точку внутри нашего прямоугольника, вблизи его границы, и построим второй прямоугольник с центром в частично выходящий за пределы первого прямоугольника, но не выходящий из области, занятой телом. Тогда мы сможем найти значения во всех точках второго прямоугольника (частично выходящего за пределы первого) по указанному выше способу, заменяя точку точкой Для того, чтобы полученные таким образом значения совпадали в части, общей обоим прямоугольникам, со значениями, вычисленными раньше, мы должны так подобрать произвольные постоянные, входящие в формулы для второго прямоугольника, чтобы значения в точке совпадали со значениями этих величин, полученными из формул для первого прямоугольника. Таким образом, формулы для второго прямоугольника не будут содержать никаких новых произвольных постоянных. Повторяя этот прием достаточное число раз, мы сможем вычислить смещения для любой точки тела.

Здесь, однако, возникает следующий вопрос. Пусть какая-либо точка тела, отличная от исходной точки Для того, чтобы

вычислить значения в точке мы должны согласно указанному способу построить цепь частично перекрывающих друг друга прямоугольников, первым звеном которой является прямоугольник с центром в а последним — прямоугольник, содержащий Но таких цепей можно построить бесчисленное множество; спрашивается, будет ли выбор той или иной цепи влиять на значения в точке иначе говоря, будут ли однозначными функциями положения

На этот вопрос в данный момент легче всего ответить, опираясь не на формулы, выведенные в настоящем параграфе, а на формулы, выражающие компоненты смещения через компоненты напряжения при помощи криволинейных интегралов, взятых по произвольным линиям, соединяющим точки и Эти формулы легко получить из формул (4) § 15 (формулы Вольтерра), положив в них и заменив компоненты деформации их выражениями через компоненты напряжения по формулам (5).

Совершенно аналогично тому, что было сказано в § 15, легко убедиться, что будут необходимо однозначными функциями, если область, занятая телом, односвязна.

В случае многосвязной области компоненты могут оказаться многозначными функциями, несмотря на соблюдение условия (7). Поэтому в случае многосвязной области к условию (7) следует отдельно присоединить условие однозначности смещений. Ниже мы еще вернемся к этому вопросу и рассмотрим его более подробно.

Замечание. Необходимость условия (7) может быть выведена еще так: дифференцируя первое из уравнений (4) по х, а второе по у и складывая, получаем

Замечая, далее, что на основании двух первых уравнений (2)

и внося это значение в предыдущее уравнение, снова получаем уравнение (7).