§ 93а. Пример.

В качестве примера рассмотрим случай, когда отрезок

оси Ох подвержен равномерному давлению остальная же часть границы свободна от внешних усилий. В этом случае для всех

значений

для остальных значений и формулы (6), (7) § 93 дают:

откуда

Под выражением следует понимать приращение функции при непрерывном изменении от —а до Для большей ясности положим где обозначает угол, составляемый вектором, имеющим начало в а конец — в z, с осью причем этот угол мы считаем заключенным между и и отсчитываем его от положительного направления Ох по часовой стрелке (рис. 47).

Рис. 47.

Тогда можем считать (обозначения см. на рис. 47):

представляет собой угол, под которым виден загруженный отрезок из точки

Вычислим компоненты напряжения. Имеем по много раз применявшимся формулам:

откуда наконец:

Решение этой задачи дано впервые Мичеллом (Michell [3]) и затем получено Г. В. Колосовым [1, 2] иным путем.

Закон распределения напряжений станет более наглядным, если в формуле (4) представить следующим образом:

откуда

что вместе с формулой (3) дает:

Эти формулы непосредственно показывают, что компоненты напряжения непрерывны вплоть до границы, если исключить точки где они перестают быть непрерывными, оставаясь, однако, ограниченными. Ясно также, что граничное условие удовлетворено.

Легко также вычислить компоненты смещения и убедиться, что они остаются непрерывными вплоть до всей границы (включая точки если не считать бесконечно удаленной точки.

Так же просто получается решение для случая постоянного касательного напряжения, приложенного к отрезку границы.