§ 12. Разложение бесконечно малого преобразования на чистую деформацию и жесткое перемещение.

Так как нас интересует вопрос о деформации, то мы можем в дальнейшем ограничиться рассмотрением формул преобразования (4) § 10 для компонент вектора. Если даны эти формулы, т. е. заданы величины то формулы для преобразования координат точки, т. е. формулы (1) § 10, будут, правда, определены не вполне: останутся не заданными величины Но ведь эти величины, очевидно, не оказывают никакого влияния на деформацию, а влияют только на жесткое, притом поступательное, перемещение тела как целого. Формулы (4) § 10 перепишем так:

где

обозначают компоненты векторной разности т. е. векторного приращения вектора произошедшего вследствие преобразования.

Выясним теперь, каким условиям должны удовлетворять величины:

которые мы будем называть коэффициентами рассматриваемого преобразования, для того чтобы преобразование (1) не сопровождалось никакой деформацией, т. е. выражало жесткое перемещение.

Условием, необходимым и достаточным для этого, является неизменность при преобразовании длины любого вектора или, что все равно, квадрата этой длины

Ограничимся в дальнейшем бесконечно малыми преобразованиями и вычислим приращение длины Предыдущая формула вместе с (1) дает с точностью до величин высших порядков

Для того чтобы имело место равенство каковы бы ни были очевидно необходимо и достаточно, чтобы

Это и есть искомое условие того, чтобы преобразование (1) сводилось к жесткому перемещению. Его можно кратко записать так

действительно, при мы получаем вторую группу формул (5); при получаем откуда это дает первую группу формул (5).

Таким образом, формулы (1) могут быть в нашем случае переписаны так:

где введены обозначения:

Это — хорошо известные формулы кинематики, выражающие жесткое (бесконечно малое) перемещение тела. Величины суть, как известно, бесконечно малые углы поворота вокруг осей координат и называются компонентами вращения 2). Из этих формул выпали члены, выражающие поступательное перемещение, ибо здесь у нас речь идет о компонентах вектора, а поступательное перемещение не изменяет этих компонент.

Чтобы получить формулы преобразования для координат точки, занимавшей до перемещения положение (х, у, z), достаточно применить предыдущие формулы к вектору

где произвольная, но раз навсегда выбранная точка тела. Подставляя в формулы на место получим формулы, также хорошо известные из кинематики:

Здесь положено:

иными словами, вектор выражает перемещение точки Если в качестве точки возьмем начало координат, то формулы (8) несколько упростятся, а именно:

где вектор выражает перемещение точки, находившейся до преобразования в начале координат.

Вернемся к формуле (4). Она показывает, что изменение длины вектора характеризуется величинами

для которых мы теперь введем обозначения:

Собственно деформация характеризуется изменением расстояний между точками, т. е. изменением длин векторов. Значит, собственно деформация определяется величинами числом 6, которые поэтому и называются компонентами деформации. Введем далее обозначения:

При этих обозначениях будем, очевидно, иметь:

и формулы (1) могут быть переписаны так:

Эти формулы показывают, что наше аффинное преобразование может быть разбито на два: на преобразование вида

и на преобразование вида (6), выражающее жесткое перемещение.

Преобразование вида (13), содержащее только компоненты деформации, мы будем называть собственно деформацией, или чистой деформацией, при этом однородной (см. выше).

Характерной особенностью формул (13) является то, что таблица коэффициентов

симметрична.

Каждая из компонент деформации имеет очень простое геометрическое значение.

Геометрическое значение компонент можно непосредственно получить из формулы (4), которая при наших новых обозначениях напишется так:

Рассмотрим какой-либо вектор , параллельный до деформации оси Для этого вектора будем иметь:

или, замечая, что в нашем случае

Итак, представляет собой относительное удлинение вектора (или отрезка), первоначально параллельного оси Аналогичные значения имеют компоненты

Если все компоненты деформации, за исключением одной равны нулю и если мы рассматриваем чистую деформацию, т. е. если

то из формул (13) вытекает:

Следовательно, в нашем случае все векторы, параллельные оси растягиваются в одном и том же отношении (относительное удлинение векторы же, перпендикулярные к этой оси, не изменяют не только направления, но и длины. Таким образом, мы имеем дело с простым и однородным растяжением в направлении оси

Аналогичные результаты получим для случаев, когда не равна нулю только одна из компонент или

Для того чтобы выяснить значение компоненты вычислим изменение угла, первоначально прямого, между двумя векторами направленными первоначально так, как оси Обозначим значение угла между упомянутыми векторами после деформации через (Значит, если угол уменьшился, и если угол увеличился.)

По известной формуле для косинуса угла между двумя векторами:

имеем

Но с точностью до бесконечно малых высших порядков

Отбрасывая также в правой части бесконечно малые высших порядков, получаем:

Но на основании формул (12), которые мы применим последовательно к векторам будем иметь:

внося эти значения в предыдущую формулу, получаем:

Итак, величина представляет собой уменьшение угла, первоначально прямого, между двумя векторами, имевшими направления (положительных) осей Аналогичные значения получим для

Рассмотрим чистую деформацию, при которой не равна нулю только одна компонента Пусть два вектора, проведенные для наглядности из начала координат и направленные по осям и пусть прямоугольник, построенный на этих двух векторах (рис. 7). После деформации прямоугольник этот обратится в параллелограмм (мы предполагаем, что начало координат не сместилось).

На основании формул (13) точка В перейдет в точку В на прямой а точка С — в точку С на причем

Так как с точностью до бесконечно малых высших порядков можно принять, что

предыдущие соотношения дают:

откуда еще раз получаем:

Если путем жесткого поворота вокруг оси Ох совместить отрезки и (разность их длин есть, очевидно, бесконечно малая высшего

порядка), то параллелограмм займет положение причем угол будет как раз равен углу (мы считаем, что точка находится на прямой так как, очевидно, это будет соблюдено с точностью до бесконечно малых высшего порядка).

Значит, наша деформация представляет собой сдвиг плоскостей, параллельных плоскости Оху в направлении оси Оу, причем смещение каждой плоскости пропорционально расстоянию до плоскости

Рис. 7.

Рис. 8.

Величина измеряет «абсолютный сдвиг», а величина

— «относительный сдвиг» или угол сдвига. Рассмотренная деформация носит название простого (и однородного) сдвига.