§ 49. Криволинейные координаты, связанные с конформным отображением на круговую область.

В дальнейшем нам придется пользоваться конформным отображением данной области находящейся на плоскости z, на область 2 плоскости представляющую собой либо круг, либо круговое кольцо, либо бесконечную плоскость с круговым отверстием; начало мы будем брать в центре.

Во всех этих случаях естественно ввести в рассмотрение полярные координаты и на плоскости положив

Окружностям и радиусам плоскости соответствуют на плоскости z некоторые кривые, которые мы также будем обозначать через

Если конечная область, ограниченная одним замкнутым контуром круг радиуса с центром в точке то можно всегда считать, что точки соответствуют друг другу. Тогда кривые на плоскости z суть простые замкнутые линии, окружающие точку Кривые все выходят из точки и кончаются на контуре Сам контур соответствует

В случае, если бесконечная область, ограниченная простым замкнутым контуром бесконечная плоскость с круговым отверстием и если точки соответствуют друг другу (этого всегда, как известно, можно достигнуть), то кривые суть замкнутые линии, окружающие контур а кривые начинаются на контуре и уходят в бесконечность. Такое же расположение линий будем иметь в случае, когда бесконечная область отображается на круг

Легко также уяснить себе расположение кривых в случае области ограниченной двумя замкнутыми контурами и отображаемой на круговое кольцо 2.

Величины Q и можно рассматривать как криволинейные координаты точек плоскости Величйны х и у связаны с и соотношением (при обозначениях предыдущих параграфов)

линии будут координатными линиями; эти линии в силу конформности отображения ортогональны между собой.

Пусть дана какая-либо точка плоскости Проведем через нее линии

Пусть обозначает касательную к линии проведенную в сторону возрастания Пусть есть касательная к линии проведенной в сторону возрастания Эти касательные мы будем называть осями криволинейных координат, связанными с точкой Система осей в указанном порядке ориентирована так, как и система т. е. если смотреть вдоль оси то ось будет направлена влево. Это следует из того, что при нашем конформном отображении направление отсчета углов не изменяется.

Рис. 28.

Пусть теперь А — некоторый вектор на плоскости z, имеющий начало в точке (рис. 28). Проекции этого вектора на обозначим через а на оси через Найдем связь между ними. Имеем очевидно:

где а — угол, составляемый осью с осью Ох и отсчитываемый от этой последней в положительном направлении. Чтобы вычислить поступим так. Придадим точке z смещение в направлении касательной Тогда соответствующая точка с, получит смещение в радиальном направлении. Имеем поэтому:

откуда

Значит, окончательно:

§ 50. Преобразование формул плоской теории упругости. В дальнейшем нам потребуются выражения величин

(производные функции Эри), компонент смещения и напряжения, через

новую переменную вводимую соотношением

Обозначим через

то, что раньше было обозначено соответственно через

и введем такие новые обозначения:

При этих обозначениях формула (4) § 31 примет вид

а формула (1) § 32 — вид

Легко также найти компоненты смещения относительно наших криволинейных координат, т. е. проекции смещения на оси Именно, на основании формулы (4) § 49 имеем:

откуда

Найдем, наконец, компоненты напряжения в наших криволинейных координатах.

Будем эти компоненты обозначать через понимая под этим следующее: если взять прямолинейные, прямоугольные координаты Оху такие, что ось Ох совпадает с осью а ось с осью то

(ср. § 39). На основании формул (8) § 8 будем иметь:

откуда на основании формул (9) и (10) § 32 и формулы (3) предыдущего параграфа, которая дает:

легко получаем:

Наконец, из формул (9) и (10) получаем вычитанием еще формулу:

дающую напряжения, действующие на контур с той стороны, в какую возрастает Формулы (7), (9)-(11) аналогичны формулам, данным Г. В. Колосовым [1, 2].

Добавим еще одну формулу, относящуюся к бесконечной области отображенной на бесконечную область 2 так, что точке соответствует точка

В этом случае при больших мы имеем по формулам (4) и (5) § 36:

где обозначают функции, голоморфные при Далее, мы имеем при достаточно больших [см. § 47, формула (2)]:

Внося это выражение в (12), получаем:

где обозначают голоморфные при функции.