§ 57. О сосредоточенных силах вообще.

В § 56а (пример 4) мы нашли выражения для функций соответствующих сосредоточенной силе, приложенной (в начале координат) к неограниченному телу. Пусть теперь область имеет любую форму и пусть, кроме усилий обычного типа,

которым соответствуют функции голоморфные в на тело действует сосредоточенная сила приложенная, скажем, в точке Действие этой сосредоточенной силы налагается на действие напряжений обычного типа, и поэтому вблизи точки функции будут иметь вид [см. формулы (9) § 56а]:

где — голоморфные функции в окрестности точки Если сосредоточенная сила приложена не в точке в произвольной точке то, взяв временно за начало вспомогательной системы координат, будем вместо формулы (1) иметь:

Возвращаясь к старой системе, получаем по формулам (3) и (4) § 38:

Индексом отмечены функции, голоморфные в окрестности точки

Для функций получаем, интегрируя:

Совершенно аналогичным путем для сосредоточенной пары, приложенной к точке получаем, исходя из формул (10) § 56а:

Мы видим, что место приложения изолированной сосредоточенной силы или пары есть изолированная особая точка функций Обратно, каждую изолированную особую точку этих функций (если мы вообще допустим существование таких точек) можно рассматривать как точку приложения сосредоточенных сил и пар. Чтобы определить аналитический характер функций окрестности этой точки, достаточно применить рассуждения § 35, выделив точку достаточно малым замкнутым контуром и рассматривая этот контур как одну из границ области Тогда на основании § 35 будем иметь в окрестности точки

где однозначны около точки суть компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных к контуру к любому другому контуру, окружающему точку

Функции однозначные в окрестности изолированной особой точки могут быть представлены рядами Лорана:

Простой подсчет, основанный на формуле (5) § 33, показывает, что главный момент относительно начала координат усилий, приложенных к (с внутренней стороны), равен (если контур бесконечно мал)

Если принять во внимание, что главный вектор этих усилий есть то для главного момента относительно точки по известной формуле механики получим:

Значит, точка есть точка приложения сосредоточенной силы и сосредоточенной пары с моментом

Однако, как мы видим, задание еще далеко не определяет особенностей функций Действительно, в разложениях (7) коэффициенты при отрицательных степенях которые и характеризуют особенности функций могут быть какими угодно (лишь бы ряды сходились), за исключением мнимой части коэффициента определяемой формулой (9).

Итак, вопрос об особенностях, вызываемых действием сосредоточенной силы и пары, является в широкой мере неопределенным, если не вводить добавочных условий.

Если выше мы и получили вполне определенные выражения для этих особенностей [см. формулы то только потому, что ввели сосредоточенную силу и пару путем определенного предельного перехода.

Точно такие же выражения получаются и при ряде других предельных переходов. В качестве одного из простейших примеров, более или менее точно воспроизводящих обычные условия приложения «сосредоточенных» силы и пары, укажем на следующий. Представим себе, что в круговое отверстие, просверленное в бесконечной пластинке, вставлена жесткая шайба того же радиуса и спаяна с пластинкой вдоль своей окружности. Пусть на эту шайбу действует некоторая сила и пара (в плоскости пластинки). Решение задачи упругого равновесия пластинки при этих условиях будет дано ниже. Если мы станем беспредельно уменьшать радиус

шайбы, оставляя неизменными силу и пару, то упомянутое решение даст в пределе результат, совпадающий с полученными выше результатами.

В дальнейшем, говоря о сосредоточенных силах и парах, приложенных к внутренним точкам, мы будем считать, что соответствующие им особенности выражаются формулами (2) — (5).

Аналогично, говоря о сосредоточенных силах, приложенных к границе, мы будем иметь в виду случай, описанный в § 43.

Замечание. В окрестностях точек приложения сосредоточенных сил компоненты напряжения и смещения перестают быть ограниченными, что, очевидно, не допустимо с физической точки зрения; помимо этого, сами уравнения теории упругости перестают быть справедливыми для этих окрестностей.

Однако полученные для подобных случаев решения могут быть с успехом использованы на практике, если применять их к частям тела, не слишком близким к местам приложения сосредоточенных сил.

Кроме того, следует иметь в виду, что в местах приложения сосредоточенных сил (вернее, конечных сил, приложенных к весьма малым участкам) могут образоваться небольшие пластические зоны, что приводит к перераспределению напряжений в этих зонах и ликвидирует особенности.

Аналогичное имеет место и для сосредоточенных пар.