§ 41. Приведение основных задач к задачам теории функций комплексного переменного.

1. Так как напряженное состояние и смещения могут быть выражены через две функции комплексного переменного то формулированные в предыдущем параграфе задачи сводятся к разысканию этих функций по некоторым условиям, которым они должны удовлетворять на границе области, занятой телом.

Будем считать, что, как в предыдущем параграфе, компоненты смещений и напряжений непрерывны вплоть до границы области Точки границы а также аффиксы этих точек, мы будем обозначать обычно через так что где х и у — координаты рассматриваемой точки границы. Часто, однако, там, где это не может вызвать неудобства, — мы будем обозначать точки границы так же, как и прочие точки плоскости, т. е. обычно через

Пусть некоторая (действительная или комплексная) функция точки границы Так как положение точки на каждом из контуров, составляющих вполне определяется дугой отсчитываемой в определенном направлении по данному контуру от некоторой фиксированной его точки, то на каждом из этих контуров представляет собой функцию действительной переменной поэтому мы будем иногда писать вместо не вводя нового символа вместо Далее, интегралы вида

взятые по некоторой дуге контура, от точки до точки мы будем обозначать также через

как иногда поступали и раньше.

2. Для большей ясности мы начнем рассмотрение со случая, когда конечная область, ограниченная одним простым замкнутым контуром .

В случае задачи II граничное условие выразится, очевидно, следующим образом:

где — значения заданных на компонент смещения. Они представляют собой заданные и в силу принятых выше условий непрерывные функции точки контура области или соответствующей дуги этого контура. Положительное направление на может быть выбрано произвольно.

При этом, разумеется, запись (1) следует понимать условно. А именно, под левой частью равенства (1) следует подразумевать граничное значение выражения

когда z, оставаясь внутри стремится к точке контура это граничное значение существует, так как предыдущее выражение равно а по предположению, непрерывны вплоть до контура.

В случае задачи I граничное условие можно выразить двумя различными способами, которыми следует пользоваться, смотря по удобству. Мы укажем пока только один из них; второй будет указан в п. 6 настоящего параграфа.

Способ, на котором мы сейчас остановимся, заключается в следующем. Пусть или, при иных обозначениях, заданные значения компонент внешнего напряжения в данной точке контура; через обозначена, как всегда, дуга контура, соответствующая точке отсчитываемая в положительном направлении от некоторой фиксированной точки За положительное направление на мы примем теперь то, которое оставляет область слева. На основании формулы (3) § 33 имеем:

где положено:

Выражение в левой части формулы (2) следует понимать как граничное значение выражения

при стремлении z к точке контура Это граничное значение, как легко видеть, существует вследствие принятого нами условия относительно непрерывности компонент напряжения вплоть до контура Заметим еще, что формулу (2) мы написали, опираясь на формулу (3) § 33, которая была выведена в предположении, что дуга, обозначенная в § 33 через

целиком расположена в Однако, как легко видеть, в нашем случае лоследняя формула применима и в случае, когда дуга принадлежит границе это вытекает из того же условия непрерывности компонент напряжения вплоть до границы.

Таким образом, граничное условие задачи I выражается формулой (2), понимаемой в указанном выше смысле. При этом функции являются заданными на действительными функциями, определяемыми формулой (3).

Заметим теперь следующее. Как мы знаем из предыдущего параграфа, задание вполне определяет напряженное состояние тела. Но при этом функции оказываются не вполне определенными; действительно, мы видели в § 34, что замена

где С — действительная, а комплексные постоянные, не изменяет напряженного состояния и что, обратно, всякая замена, не изменяющая напряжений, должна иметь вид При зтом (§ 34)

Отсюда следует, что путем подходящего выбора постоянных можно придать любое значение постоянной, фигурирующей в условии (2). Таким образом, эту постоянную можно зафиксировать произвольным образом.

В случае задачи II граничные задания вполне определяют смещения во всех точках тела (§ 40). Поэтому мы можем произвольно зафиксировать заранее только одну из величин или (0) на основании сказанного в § 34 (мы считаем, что начало координат находится в области Мы будем обычно полагать в зависимости от удобства:

В случае задачи I, когда граничные условия вполне определяют напряженное состояние тела (но не смещения), можно (§ 34) произвольно зафиксировать обе величины кроме того, мнимую часть величины

Но если мы определенным образом зафиксируем постоянную, фигурирующую в правой части формулы (2), то из двух величин можно произвольно фиксировать только одну.

Поэтому в случае задачи I мы можем считать, например,

Дополнительные условия (4), (5) вполне фиксируют функции если зафиксирована в случае задачи I постоянная в правой части формулы (2).

Относительно задачи I добавим еще следующее. Как мы знаем, эта задача может иметь решение лишь при условии, что главный вектор и главный момент внешних усилий, приложенных к границе области равны нулю.

Условие равенства нулю главного вектора можно, очевидно, выразить равенством

На основании формулы (3) это условие, т. е. условие равенства нулю главного вектора внешних усилий, эквивалентно условию непрерывности функции заданной на Действительно, при соблюдении условия (6) функция точки контура возвращается, очевидно, к своему первоначальному значению, когда описывает весь контур, и обратно.

Посмотрим теперь, как выразится условие равенства нулю главного момента через заданные на функции и

Условие равенства нулю главного момента относительно, скажем, начала координат, выражается формулой

Но на основании формулы (3)

Следовательно, применяя интегрирование по частям, получаем:

где символом обозначено приращение выражения в скобках при обходе контура Если главный вектор усилий, приложенных к равен нулю, то функции непрерывны на и поэтому

Таким образом, при условии равенства нулю главного вектора, условие равенства нулю главного момента выразится формулой

3. Рассмотрим теперь случай бесконечной области ограниченной простым замкнутым контуром (бесконечная плоскость с отверстием).

И в этом случае граничные условия задач II и I запишутся соответственно в виде (1) и (2). В формуле (2) и в нашем случае функция определяется на контуре формулой (3) при прежнем условии относительно положительного направления обхода контура, т. е. условии, чтобы область оставалась слева 1).

Однако между рассматриваемым здесь случаем и предыдущим имеется и довольно существенная разница. Дело в том, что в случае конечной односвязной области функции голоморфны (и, следовательно, однозначны) во всей области, тогда как в нашем случае это, вообще говоря, не имеет места. А именно, на основании формул § 36, считая для определенности, что начало координат находится внутри контура (т. е. вне области имеем:

где голоморфны в включая бесконечно удаленную точку.

Напомним, что обозначают компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных к а постоянные (вообще комплексные), определяющие распределение напряжений на бесконечности, а также вращение на бесконечности.

Постоянные должны считаться заданными: в случае задачи II — по условию (§ 40, п. 1), в случае же задачи I — вследствие того, что они могут быть вычислены по заданным внешним напряжениям, а именно по формуле

Далее, по условию, принятому в § считаются заданными: в случае задачи II — постоянные и в случае задачи I — постоянные и мнимая часть на распределение напряжений не влияет.

Пользуясь формулами (9), мы можем привести рассматриваемые задачи к определению голоморфных (и, следовательно, однозначных) в функций А именно, граничное условие задачи II на основании формул (1) и (9) можно записать так:

где положено:

Правая часть формулы (11) представляет собой однозначную, непрерывную на функцию, так как этим свойством обладают все члены правой части формулы (12), в частности функция

В случае задачи I будем иметь аналогично:

где положено:

Предыдущая формула показывает, что правая часть формулы (13) представляет собой однозначную и непрерывную функцию точки контура. В самом деле, формула (3) показывает, что когда точка контура описывает весь этот контур в положительном направлении, выражение получает приращение, равное

но такое же приращение с обратным знаком получает при этом выражение

и, следовательно, выражение возвращается к первоначальному значению.

Мы видим, кроме того, что правая часть формулы (14), как и следовало ожидать, фактически не содержит мнимой части постоянной (ибо так как эта мнимая часть не влияет на распределение напряжений.

В случае задачи II мы можем считать (по произволу):

или

ибо, как мы знаем из § 34, мы имеем право прибавить к одной из функций произвольную постоянную, не изменяя смещений.

В случае же задачи I при заранее зафиксированной произвольной постоянной в правой части формулы (13) мы можем считать (ср. случай конечной области):

Дополнительные условия (15) или (16) вполне фиксируют искомые функции если в случае задачи I зафиксирована постоянная в правой части формулы (13).

4. Перейдем теперь к общему случаю, когда граница состоит из нескольких контуров: (конечная область) или (бесконечная область), и начнем со случая конечной области.

В рассматриваемом случае, так же как в случае предыдущего пункта, искомые функции вообще говоря, многозначны. А именно, на основании формул (10), (11) § 35 имеем:

где функции, голоморфные (и, следовательно, однозначные) в области произвольные фиксированные точки, расположенные внутри контуров Через обозначен главный вектор внешних усилий, приложенных к контуру

В случае задачи I величины известны заранее, так как они могут быть непосредственно вычислены по заданным внешним напряжениям.

В случае задачи II эти величины заранее не известны и подлежат определению вместе с функциями Граничное условие этой задачи дается формулой (1), где теперь под следует подразумевать совокупность контуров

Граничное условие задачи I в нашем случае можно, очевидно, записать так:

где некоторые постоянные, а

в последней формуле обозначает точку, произвольно зафиксированную на а положительным направлением отсчета дуг считается то, которое оставляет область слева.

Постоянные не известны заранее, но одну из них, например можно зафиксировать произвольно, так как выражение определяется при заданных напряжениях с точностью до произвольного постоянного слагаемого (см. п. 2). Остальные же постоянные: являются неизвестными и подлежат определению вместе с функциями

Граничное условие (18) может быть заменено следующим, путем переноса в правую часть членов, соответствующих логарифмическим членам формул (17):

где представляет собой функцию, заданную на контурах однозначную и непрерывную на каждом из этих контуров. Явного выражения для этой функции мы здесь выписывать не будем Заметим, что однозначность и непрерывность выражения на внешнем контуре является следствием условия (которое мы считаем выполненным), что главный вектор всех внешних усилий, приложенных к границе равен нулю; мы предоставляем проверить это читателю.

Искомые функции могут быть вполне зафиксированы при помощи дополнительных условий, вполне аналогичных тем, которые были указаны в п. 2. А именно, принимая, что начало координат расположено в области мы можем в случае задачи II считать:

а в случае задачи I, считая постоянную зафиксированной,

Случай бесконечной области может быть рассмотрен совершенно аналогично тому, что было сделано в двух предыдущих пунктах, и поэтому мы на нем останавливаться здесь не будем.

5. Граничные условия основной смешанной задачи могут быть также легко представлены аналогично предыдущему, а именно: мы будем иметь условия вида (1) на тех частях границы, где заданы смещения, и условия вида (2) на тех частях, где заданы напряжения. Подробнее на этом мы останавливаться здесь не будем.

6. В заключение укажем еще один вид, в котором можно представить граничное условие задачи Будем считать заданными нормальную и касательную компоненты внешнего напряжения, действующего на границу Мы будем считать, что представляет собой проекцию напряжения, приложенного к дуге границы, на внешнюю нормаль проекцию того же напряжения на касательную к границе, направленную влево, если смотреть вдоль

Тогда мы будем иметь

где а — угол, который нормаль составляет с осью Ох и который отсчитывается от этой последней. Чтобы получить эту формулу, достаточно принять временно нормаль за ось касательную — за ось Оу.

Тогда

и наша формула совпадает с формулой (8) § 8.

Внося в предыдущую формулу выражения (9) и (10) § 32, получаем

где в правой части фигурируют заданные на границе функции.

Этот вид граничного условия, которым главным образом пользовался Г. В. Колосов [1, 2], часто более удобен, чем тот вид, который был указан выше, потому что функции и однозначны также в случае многосвязной области. Но в некоторых случаях указанное в предыдущих пунктах представление граничного условия имеет большие преимущества. Одно из главных преимуществ то, что при таком представлении граничное условие первой основной задачи очень сходно с граничным условием второй основной задачи, вследствие чего очень сходны и методы решения этих задач.

Кроме того, в случае конечной односвязной области граничное условие (2) в таком же точно виде применяется к задаче о заделанной по краям пластинке («основная бигармоническая задача»). В случае многосвязной области между этими задачами имеется некоторая разница, о чем будет сказано в следующем параграфе