II. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ. КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 29. Некоторые термины и предложения.

Переходя к основному для нас вопросу комплексного представления общего решения уравнений плоской теории упругости, мы уточним некоторые термины, которыми будем пользоваться (и отчасти уже пользовались), и напомним несколько простых предложений.

1. В дальнейшем, говоря о линиях (дугах, контурах), мы будем иметь в виду (если противное не оговорено) простые (т. е. не пересекающие самих себя) разомкнутые или замкнутые непрерывные линии. Далее, мы будем считать, часто не оговаривая особо, что рассматриваемые линии гладкие или, более обще, кусочно-гладкие. Напомним, что линия называется гладкой, если она обладает непрерывно изменяющейся касательной; линия называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких дуг.

2. Мы будем считать (если противное не оговорено), что область, занятая телом, представляет собой связную, конечную или бесконечную, часть плоскости, ограниченную одним или несколькими (простыми, гладкими или кусочно-гладкими) замкнутыми контурами. Граница области если эта область конечна, состоит, таким образом, из конечного числа замкнутых контуров не имеющих общих точек, из которых один, скажем охватывает все остальные; эти же последние не охватывают друг друга (пластинка с отверстиями; рис. 13).

При граница состоит из одного замкнутого контура и область односвязна; при область многосвязна, именно -связна.

Рис. 13.

В случае бесконечной области внешний контур отсутствует (или, как часто говорят, удален в бесконечность). В зтом случае область представляет собой бесконечную плоскость с отверстиями 3).

Вообще, во всем дальнейшем (если противное не оговорено) под областью мы будем подразумевать (конечную или бесконечную) область указанного выше вида.

Границу области мы не будем причислять к Если же какое-либо свойство справедливо не только для точек области но и для точек границы или для точек некоторой части границы, то мы будем говорить, что свойство это справедливо для или соответственно для

Под частью границы мы всегда будем подразумевать часть, состоящую из одной или нескольких непрерывных дуг или контуров.

3. Пусть некоторая функция, заданная в области S (но не на ее границе и непрерывная в

Мы будем говорить, что функция непрерывно продолжила на часть границы может совпадать с если возможно приписать функции такие значения на чтобы полученная в результате этого функция была непрерывна в В этом случае мы будем часто просто говорить, что функция непрерывна в или непрерывна в области вплоть до подразумевая таким образом, что функции приписаны надлежащие значения на

Введем еще следующий термин. Пусть некоторая точка границы и пусть стремится к определенному пределу, когда точка стремится к точке оставаясь внутри а в остальном произвольно. Тогда мы будем говорить, что имеет (или принимает) определенное граничное значение в точке или что непрерывно продолжила на точку Под граничным значением мы будем понимать упомянутый выше предел.

Легко показать, что если функция непрерывно продолжима на все точки некоторой части границы может быть всей границей) и если обозначить через граничное значение в точке то будет непрерывной функцией точки на

Из самого определения непрерывности следует тогда, что если непрерывно продолжима на все точки части границы то будет непрерывна в т. е. непрерывна в вплоть до если под при подразумевать соответствующее граничное значение.

В дальнейшем, говоря, что есть граничное значение функции или что принимает граничное значение мы всегда будем подразумевать, что есть предел, к которому стремится когда точка стремится к точке произвольно, подчиняясь лишь требованию оставаться внутри Иначе говоря, применяя термин граничное значение в данной точке или на данной части границы, мы всегда будем подразумевать, что рассматриваемая функция непрерывно продолжима на данную точку или на данную часть границы.

4. Пусть границы двух неперекрывающихся областей имеют общую часть представляющую собой простую гладкую (или кусочно-гладкую) дугу или замкнутый контур, и пусть функции комплексного переменного голоморфные соответственно

в и непрерывные вплоть до L (рис. 14). Пусть, далее, на Тогда функция определенная следующим образом:

будет голоморфной в области получаемой соединением областей включая Доказательство этой теоремы можно найти в курсах теории функций комплексного переменного.

Из этой теоремы вытекает, в частности, следующее заключение. Пусть функция голоморфна в некоторой области и пусть на некоторой части границы этой области функция имеет граничное значение, равное нулю. Тогда во всей области

Рис. 14.

В самом деле, присоединим к области некоторую часть плоскости, примыкающую к с другой стороны, и положим Тогда на основании предыдущего функция будет голоморфна в области, получаемой соединением областей и так как она равна нулю в она будет равна нулю всюду, ибо аналитическая функция, равная нулю в части области равна нулю во всей области.

Если при тех же обозначениях и условиях, что выше, граничное значение на имеет постоянное значение С, не обязательно равное нулю, то во всей области Это вытекает из предыдущего заключения, если применить его к функции