§ 108. Определение кусочно-голоморфной функции по заданному скачку.

Простейшим случаем задачи, поставленной в предыдущем параграфе, является тот, когда В этом случае задача сводится к определению кусочно-голоморфной функции по заданному скачку на

Решение этой задачи можно написать сразу. А именно, рассмотрим интеграл типа Коши:

На основании сказанного в § представляет собой кусочно-голоморфную функцию, исчезающую на бесконечности, причем согласно формуле (4) того же параграфа

Следовательно, одно из решений нашей задачи. Рассмотрим теперь разность где искомое решение. На основании формул (1) и (а)

Следовательно, на основании известного свойства функций комплексного переменного (§ 29, п. 4) значения функции слева и справа от аналитически продолжают друг друга. Поэтому, если приписать функции надлежащие значения на то эта функция будет голоморфной на всей плоскости, кроме, быть может, окрестностей концов линии Но так как в окрестности любого из этих концов с на основании условия (1) § 106

то, очевидно, точка с является устранимой особенностью 2), и мы можем считать голоморфной на всей плоскости. Следовательно, в силу теоремы Лиувилля на всей плоскости, и общее решение нашей задачи имеет вид или

где С — произвольная постоянная. Если мы хотим, чтобы то должны положить

Найдем теперь решение несколько более общей задачи. А именно, будем считать, что искомая функция кусочно-голоморфна всюду,

кроме бесконечно удаленной точки, где она может иметь полюс порядка не выше иметь вид, определяемый формулой (2) § 106.

Тогда, как легко видеть (применяя обобщенную теорему Лиувилля),

где произвольный полином степени не выше

обозначают произвольные постоянные.

Если, наконец, мы допускаем решения имеющие полюсы порядков не выше в заданных точках то, как легко видеть,

где произвольная рациональная функция с полюсами заданного вида, т. е.

где произвольные постоянные.

Замечание. Из сказанного вытекает, что всякую кусочно-голоморфную функцию можно представить при помощи интеграла типа Коши следующим образом:

где через обозначен скачок на линии скачков т. е.

постоянная.

Если, далее, кусочно-голоморфная функция в некоторой области не совпадающей со всей плоскостью, как в замечании в конце § 106, то эту функцию всегда можно представить в виде суммы голоморфной в функции и интеграла типа Коши:

где линия скачков, расположенная внутри голоморфная в функция. Разумеется, равенство (7) справедливо всюду в кроме точек линии на которой функция вообще не определена.

Справедливость равенства (7) вытекает из того, что разность

представляет собой функцию, голоморфную в кроме точек линии причем очевидно

и, следовательно, функция голоморфна всюду в если приписать ей надлежащие значения на

Функцию можно также представить в виде интеграла Коши, взятого по границе области