§ 147. Частные случаи.

1. Растяжение бруса, обладающего осью симметрии. Предположим, что ось Oz является осью симметрии бруса, причем симметрия понимается как в смысле геометрическом, так и в смысле упругих свойств.

Тогда очевидно, что О является приведенным центром тяжести «левого» основания. Направив оси по приведенным осям инерции этого основания, будем иметь: Далее, на основании симметрии и вида функций формулы (3а) предыдущего параграфа, легко заключаем, что решение соответствующей этой формуле вспомогательной задачи о плоской деформации будет также симметрично относительно О и, в частности,

Отсюда следует, что

Поэтому уравнения (4) предыдущего параграфа принимают вид (не забудем, что в нашем случае

Если мы хотим решить задачу растяжения силой величины направленной по оси симметрии мы должны в Предыдущих уравнениях взять что дает:

Если коэффициенты Пуассона различных материалов, составляющих брус, все равны между собой, то и мы имеем результат, полученный раньше. Если же не все коэффициенты Пуассона одинаковы, то необходимо

Так как представляет собой относительное удлинение бруса под действием растягивающей силы то есть жесткость при растяжении, и предыдущая формула показывает, что различие коэффициентов Пуассона (при неизменном увеличивает жесткость при растяжении, независимо от знаков разностей

2. Изгиб парой бруса, обладающего плоскостью симметрии. Пусть плоскость является плоскостью симметрии бруса (как в смысле геометрическом, так и в смысле упругих свойств). В этом случае мы можем считать, что О совпадает с приведенным центром тяжести «левого» основания; оси будут главными приведенными осями инерции этого основания относительно О.

При таком выборе осей в формулах (4) предыдущего параграфа Далее, на основании симметрии и вида функций формул предыдущего параграфа, легко заключаем, что решение соответствующей задачи о плоской деформации также симметрично относительно оси в частности Аналогично легко заключаем, что Поэтому

и уравнения (4) предыдущего параграфа принимают вид: —

Если мы хотим решить задачу об изгибе парой, плоскость которой перпендикулярна к плоскости симметрии, то должны положить что дает:

Если не все коэффициенты Пуассона одинаковы, то

Если же мы хотим решить задачу об изгибе парой, плоскость которой параллельна плоскости симметрии, то должны положить что дает:

где для краткости положено:

Если не все коэффициенты Пуассона одинаковы, то ибо

Легко видеть, что в обоих рассмотренных случаях изгиба закон Бернулли — Эйлера имеет место и что жесткость при изгибе в первом

случае равна

а во втором

не забудем, что представляют собой приведенные моменты инерции соответственно относительно осей

Мы видим, что в обоих случаях различие коэффициентов Пуассона увеличивает (при неизменных жесткость при изгибе, независимо от знаков разностей

В § 149 будут приведены некоторые простые примеры.