§ 24. Динамические уравнения. Об основных задачах динамика упругого тела.

Хотя в этой книге мы будем заниматься только вопросами равновесия, мы все же выведем уравнения динамики упругого тела, укажем постановку простейших основных задач относительно этих уравнений и докажем единственность решения этих задач. Попутно мы получим, выражение для потенциальной энергии деформированного тела.

Вывод уравнений динамики упругого тела никаких затруднений непредставляет. Эти уравнения могут быть сразу получены из уравнений статики на основании принципа Даламбера. Действительно, для этого достаточно написать уравнения статики, присоединив к объемным силам еще силы инерции.

В рассматриваемом теперь случае компоненты смещения, деформации и напряжения представляют собой функции не только координат х, у, z,

но и времени Компоненты ускорения точки, занимавшей при недеформированном состоянии тела положение (х, у, z), будут:

Компоненты же силы инерции, приложенной к элементу объема заключающему массу будут:

Но так как где плотность то компоненты силы инерции, рассчитанной на единицу объема, будут:

Присоединяя силу инерции к объемной силе, т. е. заменяя компоненты последней на

и внося эти значения в уравнения (1) § 18, получаем:

Этими уравнениями и надо заменить «уравнения равновесия», т. е. уравнения (1) § 18. Уравнения же, связывающие напряжения с деформациями, выражающие обобщенный закон Гука, остаются без изменения, так как объемные силы в них не фигурируют. В случае изотропного тела — это уравнения (2) и (3) § 18. Без изменения остаются также формулы (5) § 18.

В рассматриваемом случае удобнее всего пользоваться уравнениями в смещениях, которые получаются совершенно тем же путем, как в § 21, и в случае изотропного тела имеют вид:

Эти уравнения отличаются от уравнений Навье, полученных им в 1821 г. (см. § 21), тем, что в последних фигурирует только одна упругая постоянная. Уравнения Навье получаются из уравнений (2), если считать, что

Относительно динамических уравнений можно поставить задачи, совершенно аналогичные тем основным задачам, которые были сформулированы выше (§ 20) для статического случая. Существенным различием является то, что к граничным условиям присоединяются еще и «начальные условия», т. е. задание смещений и скоростей точек тела в определенный «начальный» момент времени Математически эти задачи формулируются так:

Первая основная задача. Найти функции и удовлетворяющие уравнениям (2) и следующим дополнительным условиям.

на поверхности тела во все моменты времени, начиная с и

в области V, занятой телом при

В предыдущих формулах обозначают функции, заданные на поверхности тела и зависящие, вообще говоря, также от времени.

Далее, суть заданные функции от х, у, z. Равенства (3) выражают граничные условия, а равенства (4) — начальные условия.

Вторая основная задача отличается от первой только тем, что граничные условия (3) заменяются следующими:

на поверхности заданные функции на зависящие, вообще говоря, также от времени.

Смешанная задача отличается от двух предыдущих тем, что на части поверхности даются условия (3), а на другой части — условия (5).

Кроме этих основных задач, важное значение имеет ряд других, но на этом мы не останавливаемся.

Во всех перечисленных случаях мы считали, что объемные силы заданы во всех точках тела и во все моменты времени, начиная с Мы не будем здесь касаться трудного вопроса о математическом доказательстве существования решений этих задач, а докажем только, что если решение данной задачи существует, то оно единственно.

Прежде, чем приступить к доказательству, выведем одну формулу, представляющую значительный самостоятельный интерес и выражающую закон сохранения энергии в применении к рассматриваемому случаю.

Рассмотрим какое-либо определенное движение данного упругого тела и примем за начальный момент времени тот момент, когда тело

находилось в «естественном» состоянии равновесия, т. е. при отсутствии объемных сил и напряжений и, следовательно, при отсутствии деформации. Пусть обозначает работу, произведенную внешними напряжениями и объемными силами, начиная от момента рассматриваемого момента Подсчитаем эту работу и начнем с того, что вычислим работу упомянутых сил за промежуток времени считая бесконечно малым.

Точка, занимавшая до деформации положение (х, у, z), занимает в момент времени положение, характеризуемое координатами:

Смещение этой точки, происшедшее за промежуток времени имеет, очевидно, следующие компоненты:

мы для краткости обозначаем точками частные производные по так что, например,

Работа внешних напряжений, приложенных к элементу поверхности тела, произведенная за промежуток равна

а работа объемных сил, приложенных к элементу объема равна

Значит, работа всех упомянутых сил за промежуток времени будет дана формулой

Внося в первый из предыдущих интегралов вместо их выражения (5) § 18, преобразуя его совершенно аналогично тому, как мы преобразовали интеграл в § 20, получаем, принимая во внимание уравнения (1):

Но мы имеем

где

Легко видеть, что есть кинетическая энергия рассматриваемого тела, т. е. сумма живых сил отдельных его элементов. Действительно, по самому определению, живая сила элемента массы равна

Преобразуем теперь второй член правой части формулы

Считая рассматриваемое тело изотропным и вводя в рассмотрение функцию

сразу убеждаемся, что

откуда следует, что выражение под знаком второго интеграла в формуле равно а сам интеграл равен

Таким образом, формула (б) принимает вид:

Интегрируя обе части этого равенства в пределах от до и принимая во внимание, что в начальный момент тело находилось в естественном состоянии покоя (и, значит, в этот момент), получим для работы произведенной внешними напряжениями и объемными силами за промежуток времени выражение

где

Формула (7) показывает, что зависит исключительно от состояния деформации в данный момент в данной точке; следовательно, зависит от состояния деформации рассматриваемого тела в данный момент Величина представляет собой потенциальную энергию деформации тела, т. е. работу, которую должны затратить объемные силы и внешние напряжения, чтобы вызвать данное состояние деформации. Действительно, если под воздействием этих сил тело перешло из «естественного» состояния покоя в новое, деформированное состояние покоя, то согласно формуле (10) будем иметь: ибо при состоянии покоя

Формула (10) показывает нам, что работа объемных сил и внешних напряжений затрачивается на создание кинетической энергии и потенциальной энергии деформации; это и выражает закон сохранения энергии.

Величина определяемая формулой (7), есть потенциальная энергия деформации, рассчитанная на единицу объема. Действительно, из формулы следует, что количество потенциальной энергии, приходящейся на элемент объема равно Выражение было нами введено еще в § 20; напомним, что есть неособенная положительная квадратичная форма компонент деформации; это непосредственно следует из формулы (7).

Вернемся теперь к вопросу о единственности решения наших основных задач. Пусть какая-либо из них допускает два решения с одинаковыми граничными и начальными условиями и одинаковыми объемными силами. Составим «разность» этих двух решений (ср. § 20). Полученное новое решение ( будет удовлетворять тем же уравнениям, что и два данных, но при отсутствии объемных сил; кроме того, в случае первой задачи будем иметь:

а в случае второй задачи:

в случае смешанной задачи на одной части поверхности будут соблюдены условия (3), а на другой — условия (5). Во всех случаях будем иметь, что

Действительно, в случае в случае же (5) и (на во все моменты времени, начиная с следовательно, также

аналогично для смешанной задачи.

Далее, в начальный момент мы должны, очевидно, иметь

ибо оба данных решения удовлетворяют одинаковым начальным условиям.

Из сказанного следует, что работа вычисленная для решения равна нулю, и, значит, на основании формулы (10)

Но это возможно, очевидно, только тогда, когда следовательно, во все моменты времени, начиная с будем иметь:

Первая группа этих равенств показывает, что смещения не зависят от времени, т. е. что мы должны иметь статический случай. Из второй

группы следует, что деформация равна нулю и, значит, решение может выражать только жесткое перемещение тела. Наконец, из условия, что в начальный момент все смещения равны нулю, следует, что отсутствует и это жесткое перемещение. Таким образом, будем иметь во всех точках тела и во все моменты времени и Отсюда следует, что два решения, о которых шла речь, должны совпадать полностью, а это и требовалось доказать.

Замечание. Из формулы (7) § 20 вытекает, что потенциальная энергия

деформированного тела, находящегося в равновесии, может быть вычислена по формуле

а при отсутствии объемных сил — по формуле

где двойной интеграл берется по всей поверхности тела.

Напомним, что в силу соотношений (11) и (7) при наличии (не нулевой) деформации всегда

Формулы (12), (13) легко запомнить: они показывают, что потенциальная энергия деформированного тела равна половине той работы, которую затратили бы внешние напряжения и объемные силы, если бы они с самого начала имели те значения, которые они фактически принимают, когда устанавливается упругое равновесие (на самом же деле начальные их значения равны нулю).