§ 61. Приложение.

Изгиб кругового бруса усилиями, приложенными на концах при произвольно распределенной нагрузке на круговых границах. Предположим, что мы имеем дело не с целым кольцом, а с его частью, ограниченной двумя радиусами («круговой брус»).

Будем считать сперва, что круговые границы свободны от внешних напряжений. Решения, полученные в § 60, удовлетворяют, конечно, всем уравнениям статики упругого тела и дают нулевые внешние напряжения на круговых границах. Смещения будут однозначными в нашей области (ибо мы не имеем возможности описать замкнутый контур, охватывающий окружность Напряжения же, приложенные к прямолинейным краям («концам») бруса, будут отличны от нуля и будут зависеть от трех постоянных: Вообще говоря, невозможно подобрать эти три постоянные так, чтобы получить на концах заранее заданное распределение внешних напряжений. Однако, как мы сейчас увидим, всегда можно устроить так, чтобы напряжения, приложенные к одному из концов, были статически эквивалентны данной силе и паре, т. е. имели заданные главный вектор и главный момент. Тогда усилия, приложенные на другом конце, будут статически эквивалентны противоположным силе и паре.

Если длина бруса велика по сравнению с его шириной, то задание главного вектора и момента усилий, приложенных к концу, практически заменяет на основании принципа Сен-Венана (§ 23) задание фактического распределения усилий на этом конце.

Когда мы в дальнейшем будем говорить, что к концу бруса приложены сила и пара, мы под этим будем разуметь, что к рассматриваемому концу приложены какие-то внешние напряжения, статически эквивалентные в своей совокупности указанным силе и паре.

Мы можем, например, считать, что один из концов бруса заделан; тогда в месте заделки возникает реакция, статически уравновешивающая силу и пару, приложенные к другому концу.

Итак, рассмотрим часть кольца, соответствующую значениям в промежутке

Рассмотрим сперва решение 1° § 60. Главный вектор усилий, приложенных к любому из концов, будет равен нулю. Действительно, легко видеть, что если определяется формулой (10) § 60, то

Главный момент усилий, действующих на край рассчитанных на единицу толщины бруса в направлении, перпендикулярном плоскости относительно О, определится формулой:

Значит, мы получим решение задачи изгиба кривого кругового бруса парами, приложенными на концах, если в формулах (10) § 60 возьмем:

Легко видеть, что знаменатель правой части всегда положителен. Рассмотрим теперь решение 3° § 60 и будем считать, что оси координат проведены так, что В сечении будем иметь, как показывают формулы (12) § Таким образом, внешние усилия, приложенные к этому концу (и рассчитанные на единицу толщины бруса), статически эквивалентны силе, параллельной оси Оу, проходящей через О,

величина которой (проекция на ось равна

Значит, мы решим задачу изгиба бруса поперечной силой, приложенной на конце положив в формулах (12) § 60:

Легко убедиться, что знаменатель в правой части всегда положителен.

Таким же образом решается задача для случая силы, нормальной к концевому сечению. Решение можно найти либо непосредственно, как в предыдущем случае, либо исходя из предыдущего случая.

Действительно, рассмотрим часть кольца, заключенную между радиусами Предыдущее решение дает на конце систему усилий, статически эквивалентную одной силе, параллельной Оу и проходящей через О. Следовательно, усилия, приложенные к концевому сечению будут эквивалентны равной по величине и противоположно направленной силе, т. е. силе, нормальной к прямолинейной границе линия действия этой силы проходит через О.

Налагая уже найденное решение для изгиба парой, выбрав подходящим образом момент можно всегда получить силу, линия действия которой проходит через произвольную точку.

Итак, мы имеем полное решение нашей задачи для случая, когда круговые границы свободны от внешних напряжений. Предположим теперь, что границы эти также загружены произвольным образом. Тогда мы можем получить решение следующим приемом.

Дополним мысленно наш брус до полного кольца и зададим произвольно нагрузки на круговых границах дополнительной части, так, однако, чтобы эти нагрузки вместе с заданными нагрузками на круговых частях нашего первоначального бруса были статически эквивалентны нулю, и решим затем задачу (для полного кольца) методом § 59.

Решение это в части кольца, соответствующей первоначальному брусу, будет удовлетворять заданным условиям на круговых границах. Останется только так подобрать решения настоящего параграфа, чтобы по их наложении получить на прямолинейных концах усилия, дающие заданные силы и пары (разумеется, эти последние должны быть заданы

так, чтобы статически уравновешивать заданные на круговых границах усилия).

Заметим еще следующее: изменяя задания на круговых границах дополнительной части кольца, мы будем получать различные решения. Это не противоречит теореме единственности, ибо мы не вполне задаемся распределением напряжений на прямолинейных границах, а задаемся только их главными векторами и моментами. Все упомянутые различные решения будут соответствовать различным распределениям внешних напряжений на концах (но дающим одни и те же главные векторы и моменты). Все эти решения в силу принципа Сен-Венана будут мало отличаться друг от друга в частях бруса, не слишком близких к концам, если ширина бруса мала по сравнению с длиной.

Замечание. Напомним, что в случае плоской деформации (§ 25) плоские границы бруса, параллельные плоскости подвержены нормальным напряжениям, не зависящим от нашего произвола.

В случае же, когда толщина бруса (в направлении, перпендикулярном плоскости мала, мы можем считать, что имеем дело с обобщенным плоским напряженным состоянием (§ 26), и тогда упомянутые границы свободны от внешних напряжений. Не забудем, что в этом случае постоянная А, должна быть заменена постоянной