III. СПЛОШНАЯ ОДНОРОДНАЯ СРЕДА (СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ). НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Изучение напряженного состояния в сплошных пластинках в последние годы шло главным образом в направлении рассмотрения сложных по очертанию и характеру нагружения упругих деталей, весьма трудных для точного анализа, но особо интересных для приложений. Значительное внимание уделялось неограниченным пластинкам, ослабленным надрезами различных форм у границы среды, полигональным пластинкам, а также пластинкам тех или иных очертаний, подверженным действию разрывных нагрузок.

§ 158. Пластинки с полигональным контуром. Разрывные нагрузки.

Методы теории функций комплексного переменного стали в последнее время с успехом применяться к конечным полигональным пластинкам. Для решения задачи функция, реализующая отображение нагруженной области на круг, представляется при помощи интеграла Кристофеля — Шварца в явном виде (в виде степенного ряда), после чего используется метод степенных рядов. При этом часто, особенно если функция, выражающая контурные воздействия, не является регулярной, к рассмотрению привлекаются функциональные уравнения Мусхелишвили (§ 78). Укажем некоторые, наиболее характерные работы в этом направлении.

Упомянем прежде всего работу Грэя (Gray [1]). В начале работы автор воспроизводит с некоторым изменением содержание § 84 настоящей книги. Отличие заключается в том, что автор использует разложения в степенные ряды не функций

как в § 84, а функций

Поэтому полученные автором системы алгебраических уравнений несколько отличаются от соответствующих систем § 84 настоящей книги. В работе подробно рассмотрен пример квадрата, растянутого вдоль диагонали сосредоточенными силами, приложенными в противоположных вершинах. Весьма любопытно, что систему уравнений в этом случае удается решать методом итераций.

В работе Хоскина и Радока (Hoskin a Radok [1]) в связи с расчетом стреловидного крыла рассмотрена задача о напряжениях в квадратной пластинке при некотором сложном нагружении. К противоположным вершинам квадрата приложены направленные по диагонали сосредоточенные силы, и, кроме того, две смежные стороны его подвержены распределенным по определенному закону касательным напряжениям. Рассматриваемый нагруженный квадрат заменяется близким к нему

криволинейным четырехугольником с закругленными вершинами, соответствующим пятичленному выражению для отображающей функции, после чего задача решается применением функциональных уравнений Н. И. Мусхелишвили. В работе особое внимание уделено количественному анализу изучаемого упругого состояния. Приводятся численные результаты в виде таблиц и графиков при различных значениях параметров задачи.

В работе Уинслоу (Winslow [1]) рассматривается прямоугольная пластинка при специальном ее нагружении, когда компоненты внешних усилий представляют собой полиномы от х и у.

В работе Деверола (Deveral [1]) к многоугольным пластинкам, изгибаемым поперечными силами, применяется метод степенных рядов, изложенный в § 63. Сохраняя в отображающей функции три или четыре члена, автор находит приближенное решение для нагруженных равномерными усилиями квадрата, прямоугольника и равностороннего треугольника. Проводятся численные расчеты, и значения максимальных прогибов в пластинке сравниваются с их значениями, найденными другими авторами иным путем.

Для области с кусочно-прямолинейными границами Г. Н. Положий [1-3] изучал третью основную задачу теории упругости. Так принято иногда называть задачу о соприкасании с жестким профилем, когда на границе среды задаются нормальные смещения и касательные напряжения (см. § 128). В граничных условиях этой задачи, после их надлежащего преобразования, при старших производных искомых функций появляется коэффициент, содержащий кривизну контура в качестве множителя. Благодаря этому в случае контуров, состоящих из отрезков прямых, задача существенно упрощается и приводится к двум последовательно решаемым граничным задачам теории аналитических функций. Этим путем Г. Н. Положий построил решение задачи в случае, когда граница области, конечной или бесконечной, представляет собой полигональный контур довольно общего вида. При решении задачи автор сформулировал некоторые физические условия, касающиеся порядка роста напряжений вблизи углов, при которых теорема единственности решения остается справедливой.

В. Е. Жуков [1] рассмотрел представляющий интерес для приложений случай специального вида многоугольника с резко меняющимися линейными размерами. Автор, отправляясь от приближенного отображения в виде конечного ряда по Кристофелю — Шварцу, применяет к решению задачи метод Мусхелишвили в несколько измененном виде. Этот видоизмененный метод впервые использовался в работах Д. М. Волкова (например [1]). В одном конкретном примере разрывной нагрузки (к отдельным участкам контура пластинки приложены распределенные по некоторому закону растягивающие усилия) решение доводится до численных результатов, причем в отображающей функции удерживается член, содержащий

В работах М. М. Фридмана [4], Г. Г. Чанкветадзе [1] и вышедшей несколько позже работе Ю (Yi-Yuan Yu[4]) при помощи метода Мусхелишвили дано решение в замкнутой форме задачи о поперечном изгибе круглой пластинки, когда в нескольких точках края, а также во внутренних точках срединной плоскости приложены сосредоточенные силы и моменты.

Басали (Bassali [1]) нашел тем же методом решение задачи для несколько более общего случая, когда на круглую пластинку, помимо сосредоточенных сил, действуют нормальные усилия, распределенные по площади некоторого эксцентрического круга. Эта последняя нагрузка имеет вид: где постоянная, расстояние от переменной точки до центра круга, а В другой работе того же автора (Bassali [2]) рассмотрена та же задача для пластинки с круговым отверстием. В работе Bassali a. Dawoud [1] решена в замкнутой форме задача об изгибе заделанной по контуру пластинки, подверженной действию сосредоточенной нагрузки. Здесь предполагается, что область пластинки, представляющая собой плоскость с криволинейным отверстием, соответствует двучленному или трехчленному отображению вида (1) § 153. Укажем еще на работу (Bassali a. Nassif [1]), где рассмотрен упруго заделанный по контуру круг, изгибаемый нормальной нагрузкой, распределенной равномерно по площади некоторого эллипса, имеющего общий центр с кругом. Басали и его соавторами опубликовано значительное количество работ по конкретным задачам теории изгиба тонких пластинок. Указания на некоторые из них читатель может найти в только что названной статье (Bassali a. Nassif [1 ]).