§ 82. Решение первой основной задачи для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием.

В этом случае мы воспользуемся отображением рассматриваемой области на область на бесконечную плоскость с круговым отверстием.

Отображение дается формулой (§ 48, п. 5)

Окружности соответствует эллипс с центром в начале координат и полуосями

Подобрав подходящим образом мы можем получить эллипс любого размера и формы. Если то эллипс обращается в окружность. В предельном случае эллипс обращается в отрезок оси Ох длины заключенный между точками и область обращается в бесконечную плоскость с прямолинейной щелью.

В нашем случае будем иметь:

и граничное условие примет вид

или, переходя к сопряженным значениям,

Будем сначала считать, что

т. е. что главный вектор внешних напряжений, приложенных к контуру, равен нулю и что напряжения обращаются в нуль на бесконечности, так же как и вращение. Тогда функции будут голоморфны вне у, включая бесконечно удаленную точку. Кроме того, мы можем и будем считать

Выражая, что функция точки окружности у должна представлять собой граничное значение некоторой функции голоморфной

вне у, получаем, применяя формулу (13) § 76:

где произвольная точка вне у. Замечая, что на основании формулы (1) § 70, т. е. формулы Коши для бесконечной области,

получаем:

Это уравнение, соответствующее функциональному уравнению (10) § 78 для общего случая, решается в нашем случае сразу, ибо выражение

представляет собой граничное значение функции

голоморфной внутри у, вследствие чего интеграл в левой части (а) обращается в нуль.

Таким образом, получаем весьма простую формулу:

определяющую После этого становится известным по формуле (3) граничное значение функции и поэтому функция определится формулой Коши [§ 70, формула (1)]:

внося сюда значение (а) из формулы (3) и замечая, что, как легко видеть

получаем окончательно, отбрасывая постоянную не влияющую на распределение напряжений:

Легко видеть, что полученные формулы дают регулярное решение задачи, если имеет производную, удовлетворяющую условию

Рассмотрим теперь общий случай и поступим согласно общему правилу § 78. На основании формул (14) и (15) § 50

где голоморфны при причем можно считать

кроме того, как всегда при решении первой основной задачи, мы будем считать, что вращение на бесконечности отсутствует, т. е. что

Подставляя эти выражения в формулу (2), увидим, что удовлетворяют точно такому же граничному условию (2), с той только разницей, что вместо надо взять выражение причем

Напомним, что выражение однозначно на , ибо приращение при обходе по будет компенсироваться приращением логарифмического члена.

Функции найдутся по формулам, указанным выше:

Таким образом, задача решена полностью.