§ 149. Применение комплексного представления. Примеры.

1. При решении встретившихся нам вспомогательных задач о плоской деформации удобно, как и во многих других случаях, пользоваться функциями комплексного переменного

Общее решение уравнений плоской теории упругости для однородного изотропного тела (§ 32) запишем теперь так:

где аналитические функции комплексного переменного в рассматриваемой области. Мы ввели здесь новые обозначения:

В интересующем нас случае вспомогательной задачи § 145 постоянные принимают различные значения а, для различных областей составляющих сечение бруса, а функции голоморфны в каждой из этих областей.

Напомним еще, что компоненты вектора напряжения, приложенного к элементу любого контура со стороны положительной нормали определяются формулой:

причем предполагается, что положительные направления нормали и элемента расположены друг относительно друга, как соответственно оси

В соответствии с этим условие (1) § 145 может быть выражено так:

на границе области а условие (2) того же параграфа — так:

на линиях раздела участков

Далее, условие (3) § 145 напишется так:

на линиях раздела областей где заданная на этих линиях функция. В случаях (1а), (2а), (3а) § 146 будем иметь соответственно:

2. Рассмотрим в качестве примера случай, когда свободная поверхность есть круговой цилиндр, а поверхность раздела двух сред — также круговой цилиндр с той же осью. Область пусть будет ограничена окружностью радиуса а область той же окружностью и окружностью радиуса начало координат О мы поместим в центре этих окружностей.

Вследствие симметрии очевидно, что ось Oz будет совмещена с главной осью растяжения, а плоскости с главными плоскостями изгиба.

В нашем случае легко найти решение вспомогательных задач, разлагая функции в области по положительным степеням 5 и в области по отрицательным и положительным степеням. Подстановка в равенства (5), (6) и (7) сразу определит коэффициенты; произвольные постоянные, которые могут остаться, не имеют никакого влияния на распределение напряжений (это следует из единственности решения задачи).

Однако интересующие нас случаи настолько просты, что легко сразу угадать форму решения и вместо бесконечных рядов брать с самого начала только несколько членов (см. ниже).

3. Решим сперва задачу о растяжении. Легко догадаться, что в этом случае достаточно взять:

где действительные постоянные, а значки 1 и 2 при указывают на принадлежность функций областям

Условия (5), (6) и (7) при дают соответственно, если отбросить фигурирующие в этих условиях произвольные постоянные:

Полагая, далее, получаем по сокращении на

Предыдущие уравнения определяют коэффициенты Именно:

Напомним, что даются формулами (3), где Ежа надо взять с соответствующими значками, так что

Так как коэффициенты Пуассона всегда меньше 1/2, то предыдущие величины все положительны.

Налагая полученное решение вспомогательной задачи, умноженное на постоянную на решение (3) § 146, также умноженное на получим решение исходной задачи, если придадим значение:

где величина растягивающей силы,

и

; мы применяем здесь обозначения § 146.

В нашем случае

Поэтому

как и следовало ожидать, при и содержит множителем

4. Перейдем теперь к задаче об изгибе парой, считая, что плоскость пары параллельна плоскости В этом случае условиям вспомогательной задачи о плоской деформации, соответствующей формуле можно удовлетворить, полагая:

где действительные постоянные.

Подстановка этих значений в соотношения (5), (6) и (7) при дает, как легко видеть, четыре уравнения для определения постоянных решая которые без всякого труда получаем значения этих постоянных. Мы выписываем значения трех первых, так как постоянная не влияет на распределение напряжений:

Напряжение соответствующее этой вспомогательной задаче, выражается формулой

Поэтому согласно обозначениям § 146

или на основании формулы (15)

Таким образом, жесткость при изгибе равна

(мы пишем вместо где дается предыдущей формулой, а

как и следовало ожидать, при и содержит множитель