III. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ И ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ

До сих пор мы рассматривали только такие области, граница которых состоит из (конечных) замкнутых контуров. Изучение случая, когда граница есть разомкнутая линия, уходящая в бесконечность в обе стороны («полубесконечная область»), не представляет новых существенных затруднений. В подобных случаях удобно применять конформное отображение области не на круг, а на полуплоскость. Не останавливаясь здесь на общем случае, мы ограничиваемся решением основных задач для полуплоскости и для полубесконечных областей определенного класса.

§ 90. Общие формулы и предложения для случая полуплоскости.

1. Пусть область занятая телом, состоит из «нижней» полуплоскости (рис. 45), ограниченной осью т. е. состоит из всех точек, для которых . В § 90, 91 настоящего отдела мы временно вернемся к обозначениям отдела II главы II, т. е. будем снова писать

Рис. 45.

Относительно компонент напряжения мы будем предполагать, что они удовлетворяют условиям непрерывности и дифференцируемости, принятым во всем предыдущем.

Кроме того, мы будем считать, что напряжения, а также вращение, стремятся к нулю, когда z удаляется в бесконечность по любому пути, оставаясь внутри

Если бы контур области не простирался в бесконечность, а был замкнутой кривой, то из этого условия следовало бы, что функции при больших имеют вид:

Мы поставим условие, что и в нашем случае функции при больших могут быть представлены так:

где — постоянные (по этому поводу см. также замечание в конце § 93).

Кроме того, очевидно, и будут голоморфны во всякой конечной области, заключенной в

К условиям (1) мы присоединим еще условие, что при больших имеем:

в этих формулах следует выбрать одну какую-либо определенную ветвь многозначной функции например где (аргумент z) изменяется

Наконец, добавим еще следующее условие: главный вектор внешних усилий, приложенных к отрезку оси стремится к определенному пределу, когда концы его уходят в бесконечность (А — влево, вправо).

Выразим это условие. Если суть компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных к то по формуле (2) § 33 имеем:

где, напоминаем,

Для того чтобы иметь право применить формулу (2) § 33 к отрезку самой границы, следовало бы наложить некоторые условия на поведение выражения (4) вблизи границы. Но можно обойтись и без каких-либо предположений, кроме сделанных выше, если заменить вычисление главного вектора усилий, приложенных к отрезку вычислением главного вектора усилий, приложенных к любой простой дуге расположенной в концы которой бесконечно близки к точкам (ср. сказанное в § 35). Например, в качестве дуги можно взять дугу, получаемую из полуокружности (рис. 45) удалением бесконечно малых ее частей, примыкающих к точкам

В дальнейшем для упрощения обозначений мы будем писать вместо что не может вызвать недоразумений.

Если находятся достаточно далеко и по разные стороны от О, то формулы (1), (2), (4) дадут:

где расстояния точек до сколь угодно малая величина (стремящаяся к нулю при возрастании Для того чтобы предыдущее выражение осталось ограниченным при всяких (не зависящих друг от друга) сколь угодно больших очевидно необходимо

и достаточно условие

каковое мы и примем. Тогда главный вектор внешних усилий, приложенных ко всей оси будет дан формулой

Из формул (5) и (6) следует:

Итак, будем иметь окончательно при больших

Заметим наконец, что при принятых нами условиях компоненты

напряжения будут иметь порядок компоненты смещения будут при больших иметь вид

Если то будут иметь порядок будет ограниченной величиной.

Относительно области можно поставить такие же основные задачи, как и в случаях, рассмотренных в предыдущих отделах настоящей главы. Надо только заботиться о том, чтобы поведение задаваемых на границе величин согласовывалось на больших расстояниях с поставленными здесь условиями.

2. В первой основной задаче задаются на оси Ох как функции абсциссы Легко вычислить на основании формул (1), что эти величины должны удовлетворять при больших условиям:

Во второй основной задаче заданные на Ох функции должны удовлетворять на основании формулы (8) условиям:

где с — постоянная.

Аналогичные условия для основной смешанной задачи читатель легко составит сам.

В случае второй основной задачи, а также смешанной, мы будем считать заданными величины

3. Решение только что указанных основных задач будет дано ниже (§ 93, 94, 113, 114). Здесь же мы ограничимся теоремами единственности.

Теоремы единственности для нашего случая легко доказываются способом, вполне аналогичным тому, который был изложен в § 40 для случая бесконечной области. В нашем случае следует применить интегральную формулу (4) § 40 к области, ограниченной отрезком границы и полуокружностью (рис. 45), и затем перейти к пределу, когда уходят в бесконечность в противоположные стороны. Указанное доказательство непосредственно применимо к случаю, когда компоненты смещений и напряжений непрерывны вплоть до границы, не считая бесконечно удаленной точки, где они ведут себя согласно принятым выше условиям.

Таким же образом легко переносятся на наш случай доказательства теорем единственности для первой и второй основных задач, приведенные в § 42, в предположении, что рассматриваемые решения регулярны, т. е. что соответствующие им функции непрерывно продолжимы на все конечные точки границы.

Добавим, что в силу теорем единственности, решения второй и смешанной задач определяются вполне, а решение первой основной задачи — с точностью до жесткого перемещения, но лишь поступательного; последнее вытекает из того, что в силу принятого условия, вращения, соответствующие рассматриваемым решениям, исчезают на бесконечности.

Замечание 1. Формулы (1), (2) или (1), (2) можно заменить другими, более удобными для изучения поведения рассматриваемых функций вблизи границы. Например, вместо формул (2), можем, очевидно, написать:

где произвольная постоянная точка вне точка верхней полуплоскости), а функции, голоморфные в порядка при больших

Замечание 2. О сосредоточенных силах, приложенных к границе. Если в формулах (2) оставить только первые члены, т. е. взять

и применить их ко всей полуплоскости то, как легко видеть, они будут соответствовать действию сосредоточенной силы приложенной к границе в начале координат. Действительно, легко вычислить, что при обходе по бесконечно малому полукругу вокруг точки О (снизу) выражение прирастет на а следовательно, главный вектор усилий, приложенных (сверху) к этому полукругу, равен как раз ; кроме того, как легко подсчитать, главный момент тех же усилий относительно начала координат равен нулю.

Компоненты напряжений и смещений, соответствующие функциям т. е. действию сосредоточенной силы, легко вычислить по общим формулам § 32 или § 39.

Например, для полярных компонент напряжения по формулам § 39 имеем:

откуда

Полученное решение задачи о действии сосредоточенной силы на границу полуплоскости совпадает по существу с решением, найденным Фламаном (Flamant).