II. РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОГРАНИЧЕННЫХ ОКРУЖНОСТЬЮ

§ 54. Решение первой основной задачи для круга.

Возьмем начало координат в центре круга, радиус которого обозначим через Пусть заданные компоненты внешнего напряжения, действующего на окружность этого круга. Мы будем считать их непрерывными (и однозначными) на и рассматривать как функции полярного угла отсчитываемого, как и дуга от положительной оси Положим согласно формуле (3) § 41:

Мы знаем, что для существования регулярного решения функции должны быть непрерывными и однозначными на (§ 41, п. 2), т. е. должно быть

(условие равенства нулю главного вектора). Кроме того, условие равенства нулю главного момента (§ 41):

принимает в нашем случае вид

Мы будем считать условия (2) и (3) выполненными.

Граничное условие (2) § 41 напишется так (если в нем положить

мы применяем здесь для точек границы то же обозначение z, что и для внутренних точек области.

Выражение мы можем представить в виде ряда

коэффициенты которого вычисляются по правилу § 52; поэтому мы будем считать эти коэффициенты заданными.

Функции как мы знаем, должны быть голоморфны внутри причем можно считать на основании сказанного в § 41, что Значит, функции должны разлагаться при в степенные ряды вида

в первом ряду отсутствует постоянный член вследствие условия Имеем далее:

Предполагая, что указанные ряды сходятся не только внутри, но и и внося их в (4), получаем:

Но на окружности имеем: Внося эти выражения в предыдущую формулу и замечая, что

получаем, принимая во внимание формулу (5):

Сравнивая коэффициенты при получаем:

Сравнивая коэффициенты при получаем:

Наконец, сравнивая коэффициенты при получаем:

Равенство (7) возможно только в случае, если величина действительна, так как где действительная часть коэффициента Итак, для возможности решения задачи должно быть:

Значение этого условия мы выясним ниже.

Если это условие выполнено, то действительная часть коэффициента определится формулой

Мнимая часть коэффициента остается, как и можно было ожидать, неопределенной, ибо она есть мнимая часть которую можно фиксировать произвольно (§ 41), например положить равной нулю.

Далее, коэффициенты определяются из формулы (7):

и, наконец, коэффициенты из формулы (8) (в которой нужно заменить все величины сопряженными):

Таким образом, все коэффициенты разложений (6) определены и задача может считаться решенной, если только будет показано, что найденные ряды для действительно удовлетворяют условиям задачи. К этому вопросу мы сейчас вернемся, но прежде выясним смысл условия (9). Имеем (см. § 52):

Значит, условие (9) сводится к условию (3), которое выражает, что главный момент внешних усилий равен нулю.

Остается выяснить вопрос, действительно ли удовлетворяют найденные ряды для всем условиям задачи. Мы дадим

положительный ответ на этот вопрос, ограничиваясь для простоты случаем, когда функции не только непрерывны, но и имеют первые производные, удовлетворяющие условиям Дирихле. Легко показать, что при этом условии ряды

будут абсолютно и равномерно сходящимися на самой окружности а значит, и внутри Следовательно, функции будут непрерывными вплоть до контура и найденное решение — регулярным.

Для доказательства сходимости предыдущих рядов на рассмотрим ряды, составленные из модулей их членов при

Так как имеют первые производные, удовлетворяющие условиям Дирихле, то функции имеют вторые производные, удовлетворяющие условиям Дирихле. Поэтому на основании сказанного в § 53 получаем:

где С — некоторая постоянная. Используя эти неравенства, на основании формул и (12) легко выводим

где некоторые постоянные. Отсюда непосредственно следует сходимость рядов а следовательно, равномерная и абсолютная сходимость рядов для

Замечание. Решая задачу, мы воспользовались граничным условием в виде (2) § 41. Мы могли бы воспользоваться и условием в виде (23) того же § 41. Предоставляем сделать это читателю (ср. § 56, где аналогичная задача будет решена именно этим способом).