§ 166. Частные задачи.

Ниже мы остановимся на ряде конкретных задач теории трещин, рассмотренных к настоящему времени. Как видно из предыдущего, основным этапом в решении задач о равновесии систем трещин является вычисление коэффициентов интенсивности соответствующих каждому из концов трещин. Большинство полученных результатов основано на использовании методов, развитых в настоящей книге.

Начнем с изолированной прямолинейной трещины, причем будем считать, что на обоих ее концах достигнута максимальная интенсивность сил сцепления. Предполагается, таким образом, что изолированная прямолинейная подвижно-равновесная трещина в бесконечной плоскости простирается от до Обозначим через распределение нормальных напряжений, которые возникают на месте трещины в сплошном теле при тех же нагрузках; это распределение находится обычными методами и считается заданным. Для нахождения упругих полей в теле без учета сил сцепления можно воспользоваться результатами § 120. Имеем:

откуда для коэффициентов интенсивности напряжений в концах (без учета сил сцепления) получаем:

Удовлетворяя в точках условию (18) § 165, получаем:

В частности, в случае симметричной трещины а имеем:

Соотношения (3) и (4) представляют собой конечные уравнения, определяющие координаты концов трещины. Отметим, что в принципе эти уравнения аналогичны, соответственно, условиям (10)-(11) и (11) § 119, определяющим положения концов площадки контакта в задаче о вдавливании штампа.

Упомянем некоторые важные частные случаи. При (однородное поле напряжений) формула (4) дает

Это соотношение было получено Гриффитсом Griffith [1, 2]) гораздо более сложным путем, так как он использовал решение Инглиза (Inglis [1]). Если дельта-функция; этот случай соответствует трещине, поддерживаемой сосредоточенными силами приложенными посредине ее противоположных берегов), то формула (4) дает

Представляет особый интерес развитие изолированной трещины при пропорциональном нагружении (когда все нагрузки меняются пропорционально некоторому параметру). В случае симметричной прямолинейной трещины имеем Переходя к безразмерной переменной приводим соотношение (4) к виду

Таким образом, зависимость размера трещины I от параметра нагружения X вполне определяется функцией входящей в формулу (7). Функция обладает следующими свойствами:

1°. Если на краю трещины не приложены сосредоточенные силы, то при малых I функция по закону

2°. Если растягивающие нагрузки, приложенные к телу с каждой стороны трещины, ограничены и равны то при функция по закону

Из этого следует, что при выполнении сделанных предположений функция имеет по крайней мере один положительный минимум и по одному участку убывания и возрастания. Если нагрузка с обеих сторон трещины не ограничена, то функция может не иметь участков возрастания.

Сформулированные свойства функции важны при анализе устойчивости трещины. По определению, равновесная трещина является устойчивой, если никакое достаточно малое изменение положения ее концов

не приводит к возникновению сил, стремящихся еще более удалить тело от нарушенного состояния равновесия. Очевидно, что неподвижно-равновесные трещины всегда устойчивы. Можно показать, что для устойчивости подвижно-равновесной трещины необходимо, чтобы ее размер I возрастал с увеличением параметра нагружения X, откуда и из (7) получаем, что устойчивы только те состояния подвижного равновесия трещины, описываемые уравнением (7), для которых соответствующие участкам возрастания кривой (7).

Полученные сведения дают возможность полностью проанализировать развитие изолированной прямолинейной трещины при пропорциональном нагружении. Пусть, например, функция имеет вид, представленный на рис. 69, а начальная длина трещины при нулевой нагрузке, 10, соответствует первому неустойчивому участку. Тогда при увеличении параметра X до значения, определяемого ординатой точки 1, размер трещины не меняется, трещина остается неподвижно-равновесной. По достижении точки 1 трещина становится подвижно-равновесной и при малейшем увеличении нагрузки изображающая точка перескакивает на устойчивую ветвь кривой Это означает, что размер трещины скачком меняется от 10 до 12. При дальнейшем увеличении параметра к размер трещины непрерывно увеличивается до достижения точки 3, после чего происходит полное разрушение тела. Значение параметра X, соответствующее точке 3, определяет разрушающую нагрузку. Исследование развития изолированной прямолинейной трещины при пропорциональном нагружении в случае других форм зависимости проводится вполне аналогично. В частности, очевидно, что если растягивающие нагрузки по обе стороны трещины ограничены, то значение X, отвечающее разрушающей нагрузке, бесконечно.

Рис. 69.

Разнообразные задачи, связанные с развитием изолированной прямолинейной трещины в различных условиях, были рассмотрены в работах Снеддона и Эллиота (Sneddon a. Elliott [1 ]), Ю. П. Желтова и С. А. Христиановича [1], Ю. П. Желтова [1], Масубути (Masubuchi [1]), Дагдейла (Dugdale [1]), В. В. Панасюка [4, 5], М. Я. Леонова и В. В. Панасюка [1], Е. А. Морозовой и В. 3. Партона [1]. Изложенное здесь исследование задачи о развитии изолированной прямолинейной трещины было выполнено в работах Г. И. Баренблатта [1, 4, 5, 8].

Для приложений существенное значение имеет рассмотрение задач о трещинах, выходящих на поверхность тела. Получение эффективных аналитических решений в этом случае затруднено, так как отображение соответствующей области на полуплоскость не может быть выполнено

при помощи рациональных функций. Поэтому приходится прибегать к численным решениям. В важной работе Бови (Bowie [1]) рассмотрена задача о системе к симметрично расположенных трещин одинаковой длины, выходящих на свободную поверхность кругового выреза в бесконечном теле (рис. 70). Тело растягивается на бесконечности всесторонним растягивающим напряжением или одноосным растягивающим напряжением (в последнем случае рассматривается случай одной или двух трещин, перпендикулярных направлению растяжения).

Рис. 70.

Для приближенного решения задачи Бови воспользовался методом § 89, подобрав функцию отображающую область, изображенную на рис. 70, на внешность единичного круга следующим образом. Для получения достаточно точного описания поля напряжений и деформаций в окрестности концов трещины Бови взял производную отображающей функции в виде

где полином, все нули которого лежат внутри единичного круга. Используя далее приближенное полиномиальное представление функции автор получил из условия обращения в нуль коэффициентов при положительных степенях лорановского разложения систему линейных алгебраических уравнений для коэффициентов этого полиномиального представления. Для обеспечения удовлетворительной точности численных расчетов Бови пришлось удерживать около тридцати членов в представлении отображающей функции (численные расчеты были выполнены для случаев На основе полученного приближенного решения Бови вычислил изменение потенциальной энергии тела из-за наличия трещин и определил критические напряжения, при которых трещины становятся подвижно-равновесными.

Рис. 71.

Задача о прямолинейной трещине, выходящей на прямолинейную свободную границу полуплоскости (рис. 71), была независимо рассмотрена в работах Уиглсуэрта (Wigglesworth [1]) и Ирвина (Irwin [5]). Уиглсуэрт исследовал случай произвольного распределения нормальных и касательных напряжений по краям трещины. При симметричном распределении напряжений, используя методы, аналогичные методам отдела II гл. 6, он привел задачу к интегральному уравнению для функции где и упругие смещения точек верхнего края

трещины:

некоторое сингулярное ядро, выражается через заданные на разрезе распределения напряжений. Уравнение (11) решается автором методом интегральных преобразований; подробные вычисления делаются для частного случая постоянных нормальных напряжений и касательных напряжений, равных нулю. Результаты вычислений дают возможность определить коэффициенты интенсивности напряжений и используя условие (18) § 165, найти критические напряжения.

Ирвин (Irwin [5]) исследовал только частный случай, когда граница полуплоскости и трещина свободны от напряжений, а на бесконечности приложены постоянные напряжения, параллельные границе полуплоскости. Он представил искомое решение в виде суммы трех полей, первое из которых соответствует трещине в безграничном теле под действием постоянных растягивающих напряжений на бесконечности, второе — такой же трещине под действием приложенных на ее поверхности симметрично распределенных по закону нормальных напряжений, третье — полуплоскости без трещины, на границе которой задано симметричное относительно оси х распределение нормальных напряжений Удовлетворяя граничным условиям на свободной границе и краях трещины, Ирвин получил для функций и систему интегральных уравнений, которую решал методом последовательных приближений. На основе полученного решения Ирвин нашел выражение для коэффициента интенсивности напряжений и тем самым для критических напряжений. Более полное, чем в работе Бови (Bowie [1 ]) решение для случая одной трещины, выходящей на границу круговой полости, свободной от напряжений, было дано в работе Уиглсуэрта (Wigglesworth [2]). Уиглсуэрт предполагал, что на поверхности трещины действуют распределенные по произвольному закону нормальные и касательные напряжения, и, используя методы, аналогичные развитым в отделе III гл. 6 (см. также монографию Грина и Зерна (Green and Zerna [1 ]), привел задачу к сингулярному интегральному уравнению, которое решал методом интегральных преобразований.

Бюкнер (Bueckner [2]) независимо от Уиглсуэрта рассмотрел задачу об одной прямолинейной трещине, выходящей на границу круговой полости в бесконечном теле. На бесконечности и на границе полости напряжение не приложено, на поверхности трещины касательные напряжения отсутствуют, а нормальные — приложены симметрично и меняются по произвольно заданному закону — Такая постановка задачи возникает при расчете разрыва вращающихся дисков. Как и Уиглсуэрт, Бюкнер исходил из сингулярного интегрального уравнения для поперечного смещения точек поверхности трещины. Он построил однопараметрическое?

семейство точных частных решений этого уравнения, соответствующих некоторым специальным распределениям В общем случае Бюкнер предлагает представить в виде линейной комбинации

причем коэффициенты предлагается определять по методу наименьших квадратов или по методу коллокаций. Коэффициент интенсивности напряжений выражается через коэффициенты простым соотношением. Если длина трещины много меньше радиуса круговой полости, то в пределе получается случай прямолинейной границы. Расчеты Бюкнера для этого частного случая при хорошо согласуются с результатами расчетов Уиглсуэрта (Wigglesworth [1]) и Ирвина (Irwin [5]).

В той же работе Бюкнер рассмотрел задачу о трещине, выходящей на поверхность бесконечно длинной полосы конечной ширины при произвольной симметричной относительно линии трещины нагрузке. Он показал, что с высокой степенью точности можно заменить получающееся в этом случае интегральное уравнение уравнением с вырожденным ядром. Численное решение проведено в этой работе для случая, когда нагрузка создается парами, приложенными на бесконечности.

Во всех работах, рассматривавших трещины, выходящие на границу полости, полученные результаты относились к случаям, когда подвижно-равновесные трещины неустойчивы. Таким образом, при повышении нагрузок развитие начальной трещины не происходит, пока она не становится подвижно-равновесной, после чего происходит разрушение тела. Следовательно, нагрузка, при которой начальная трещина становится подвижно-равновесной, совпадает с разрушающей, что, вообще говоря, не имеет места.

Перейдем теперь к рассмотрению задач о трещинах в ограниченных телах и системах трещин. Задача о прямолинейной трещине в полосе конечной ширины была рассмотрена в работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова [1], а также в неопубликованной работе Тэйта (R. I. Tait, см. Sneddon [3]). Трещина предполагается симметричной относительно средней линии полосы, направление ее распространения — нормальным к свободной границе. Нагрузку, поддерживающую трещину в открытом состоянии, считаем симметричной относительно линии трещины и средней линии полосы.

В соответствии с приближенным методом, указанным в § 89, в качестве первого приближения удобно взять решение задачи теории упругости для внешности периодической системы разрезов. Решение этой последней задачи в работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова [1] получено двумя методами: предельным переходом при из решения задачи о плоскости с одинаковыми и одинаково загруженными разрезами, которое получается методом, изложенным в § 120, и непосредственно, путем

отображения внешности периодической системы разрезов на бесконечно-листную риманову поверхность и решения соответствующей краевой задачи. В этой же работе были проведены оценки возможности использовать первое приближение в рассмотренных задачах, а также на основе полученных решений предложены соотношения, определяющие размеры трещин при данных нагрузках.

Тэйтом решение рассматриваемой задачи было получено в рядах с использованием метода решения соответствующих дуальных интегральных уравнений, развитого Трантером (Tranter [1]). Тэйт рассмотрел также при помощи аналогичного метода в том же приближении задачу о паре симметричных и произвольно симметрично нагруженных трещин, выходящих на границу полосы. Отметим, что частные случаи задачи о трещине внутри полосы были в том же приближении рассмотрены ранее: случай равномерной нагрузки был рассмотрен Вестергардом (Westergaard [1]) и независимо Койтером (Koiter [1]), который построил решение с помощью предельного перехода при из решения задачи о плоскости с одинаковыми разрезами, подвергнутой на бесконечности однородному растягивающему напряжению. Задача о периодической системе трещин, поддерживаемых равными и противоположно направленными сосредоточенными силами, приложенными в противоположных точках поверхности трещин, была решена Ирвином (Irwin [2, 3]) путем непосредственного подбора комплексного потенциала Вестергарда (см. стр. 112).

Был рассмотрен также ряд задач о системах прямолинейных трещин, расположенных вдоль одной прямой. Как видно, методы, изложенные в § 120, позволяют свести к квадратурам решение любой подобной задачи. Одной из простейших задач такого типа является задача о развитии системы из двух коллинеарных прямолинейных трещин одинаковой длины в бесконечном теле, растягиваемом на бесконечности однородными напряжениями. Эта задача была рассмотрена Уилмором (Willmore [1 ]) и позднее В. В. Панасюком и Б. Л. Лозовым [1]; в работе Винна и Вундта (Winne and Wundt [1]) дано неправильное решение этой задачи.

В работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова [1] дано решение задачи о двух равных коллинеарных трещинах при одинаковой произвольной симметричной нормальной нагрузке, приложенной на поверхности трещин, полученное методом § 120. Численные расчеты в этой работе проведены для случая, когда нагрузка представляет собой сосредоточенную силу. Эта же задача была рассмотрена в работе Трантера (Tranter [2]) методом преобразований Фурье путем надлежащего обобщения техники дуальных интегральных уравнений. В работе В. В. Панасюка и Б. Л. Лозового [2] методом § 120 рассмотрена задача о системе двух коллинеарных трещин неравной длины в бесконечном теле, растягиваемом приложенным на бесконечности однородным напряжением.

В работе В. В. Панасюка и Б. Л. Лозового [3] рассмотрены задачи об изгибе полосы при наличии в ней поперечных трещин. Исследованы

частные случаи чистого изгиба полосы с трещиной, изгиба консольной балки с трещиной, изгиба балки с равномерно распределенной нагрузкой. Как и в работе Бюкнера (Bueckner [2]), решение строилось приближенно в смысле п. 5 § 82; учитывалось, что часть поверхности трещины смыкается, причем на участке смыкания возникают касательные напряжения, подчиняющиеся закону Кулона. Задачи в упомянутом приближении приведены авторами к сингулярному интегральному уравнению; границы участка контакта определены из условия конечности напряжений, рассмотренного в § 116. Из условия (18) §165 найдены предельные нагрузки, при которых трещина становится подвижно-равновесной; ввиду неустойчивости подвижного равновесия для всех рассмотренных задач эти предельные нагрузки совпадают с разрушающими.

В работе Койтера (Koiter [2]) исследована задача о бесконечном ряде параллельных трещин в однородном поле напряжений сдвига. В случае, когда расстояние между трещинами велико сравнительно с длиной трещин автор получает приближенное решение, суммируя надлежащим образом решения для изолированных трещин (§ 120) и осуществляя затем разложение в ряд по малому параметру с В противоположном случае, когда расстояние между трещинами мало сравнительно с длиной трещин, приближенное решение приводится автором к решению смешанной задачи теории упругости для бесконечной полосы, которое получается путем применения преобразования Фурье и использования для решения получающегося уравнения метода Винера — Хопфа. Численные расчеты показали, что при расчете упругой энергии полученные асимптотики с большой точностью совпадают на некотором интервале значений отношения длины трещин к расстоянию между ними, что позволяет ограничиться этими асимптотиками для расчета упругой энергии и, следовательно, критических напряжений во всем диапазоне значений параметра с

В связи с теорией трещин большой интерес представляет так называемая задача о расклинивании: задача о развитии трещин в упругом теле при забивании в него жесткого клина. Задача о расклинивании представляет собой смешанную задачу теории упругости и к настоящему времени рассмотрена только для бесконечного тела. Наиболее характерным свойством расклинивания является то, что поверхность клина никогда полностью не соприкасается с телом: в передней части клина всегда имеется свободный участок и перед клином образуется свободная трещина, которая смыкается на некотором расстоянии от передней точки клина (рис. 72).

Задача о расклинивании бесконечного тела неподвижным клином была рассмотрена в работах Г. И. Баренблатта и С. А. Христиановича [1], Г. И. Баренблатта [4] и Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова [2].

Предполагается, что однородное изотропное тело расклинивается тонким, симметричным, абсолютно жестким полубесконечным клином, имеющим на бесконечности толщину (рис. 72а, б). Впереди клина образуется свободная трещина, которая плавно смыкается в некоторой точке

положение точки О относительно передней точки клина С заранее неизвестно и должно быть определено в ходе решения задачи. Если клин имеет закругленную переднюю часть (рис. 72 а), то положение точек схода клина с поверхности трещины заранее неизвестно и также должно быть определено в ходе решения задачи. Если же клин имеет срезанную переднюю часть (рис. 72 6), как, например, в случае клина постоянной толщины, то положение точек схода вполне определено: они совпадают с углами передней части клина. Однако напряжения в точках схода в этом случае бесконечны.

Рис. 72 а и б.

Поле упругих напряжений и деформаций удовлетворяет во внешности трещины уравнениям теории упругости. Ввиду сделанного предположения о тонкости клина можно снести граничные условия со всей линии трещины на ось Ох (рис. 72 а и б). Если считать, что силы трения на линии соприкосновения клина с расклиниваемым телом равны нулю, граничные условия без учета сил, действующих в концевой области трещины, записываются в виде

где — расстояния от точки смыкания трещины соответственно до передней точки клина и до точек схода поверхности трещины с клина; функция, определяющая уравнение поверхности клина в системе координат с началом в передней точке клина, знаки плюс и минус соответствуют верхнему и нижнему берегам разреза.

Как видно, задача о расклинивании представляет собой смешанную задачу, являющуюся своеобразной комбинацией контактной задачи теории упругости и задачи теории трещин.

Положение точек схода поверхности трещин с клина в случае клина с закругленной передней кромкой и положение точки смыкания берегов трещины относительно передней точки клина определяются из следующих двух условий:

1°. Напряжения в точках схода поверхности трещины с клина должны быть конечными. Это условие аналогично соответствующему условию для контактной задачи, сформулированному в § 116.

2°. Напряжения в конце трещины конечны, или, что то же, имеет место плавное смыкание противоположных берегов трещины на ее конце. Так

как интенсивность сил сцепления в конце трещины максимальна, растягивающее напряжение вблизи конца трещины, вычисленное без учета сил сцепления, должно стремиться к бесконечности согласно формуле (19) § 165.

В цитированных выше работах было дано решение поставленной задачи двумя методами. Согласно первому методу она сводится при помощи результатов § 95 к интегральному уравнению Фредгольма первого рода и затем к сингулярному интегральному уравнению и некоторому условию на бесконечности. Решение сингулярного интегрального уравнения, удовлетворяющее упомянутому условию, находится сразу. Согласно второму методу решение задачи приводится к решению смешанной задачи теории аналитических функций для полуплоскости, которое легко получается применением формулы Келдыша — Седова (см. Мусхелишвили [25]).

Сформулированные выше два условия приводят к следующей системе уравнений для определения неизвестных констант и 12.

В частности, когда толщина клина постоянна, первое условие (13) не имеет места и заменяется условием второе условие дает выражение для длины свободной трещины перед забиваемым клином:

В работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова [2] рассмотрены также другие частные формы клина: клин с малым закруглением в передней части и клин, закругленный по степенному закону. Исследование первого из названных примеров показало, что малое закругление оказывает незначительное влияние на длину свободной трещины перед клином. В этой работе исследован также случай, когда на щеках клина действуют силы кулонова трения.

И. А. Маркузон [1] рассмотрел задачу о расклинивании бесконечного тела клином конечной длины. Численные расчеты проведены И. А. Маркузоном для случая клина постоянной толщины. В этой работе исследовано также влияние однородного сжимающего или растягивающего напряжения на бесконечности на длину свободной трещины, образующейся при расклинивании тела клином конечной длины.

Г. П. Черепанов [1] рассмотрел и в замкнутом виде решил некоторую задачу линейного сопряжения для двух функций, к которой, в частности, сводится общая смешанная задача плоской теории упругости для внешности произвольной системы прямолинейных разрезов, расположенных вдоль

одной прямой, и, следовательно, многие задачи теории трещин. Г. П. Черепановым рассмотрен конкретный пример задачи о расклинивании упругого тела полубесконечным клином постоянной толщины, на поверхности которого имеет место полное сцепление клина с расклиниваемым телом, а не проскальзывание, соответствующее ранее рассмотренному случаю отсутствия сил трения на щеках клина. Выражение для длины свободной трещины получено Г. П. Черепановым в весьма простом конечном виде; расчеты показали, что изменение длины трещины вследствие полного сцепления незначительно.