§ 101. Интегральные уравнения Шермана — Лауричелла.

Д. И. Шерману [15—17] удалось получить заслуживающие большого внимания интегральные уравнения для решения первой и второй, а также смешанной, основных граничных задач плоской теории упругости. К этим уравнениям, по-видимому, естественнее всего придти следующим путем, основанным на одной простой общей идее, аналогичной той, которую применил Фредгольм для получения интегральных уравнений, соответствующих второй основной задаче в трехмерном случае.

Будем сперва предполагать, что рассматриваемая область конечна и ограничена одним простым замкнутым контуром, удовлетворяющим тем же условиям, что в § 98.

Граничные условия первой и второй основных задач мы теперь запишем так, применяя то же обозначения, что в § 98:

напомним, что соответствует первой основной задаче, а второй.

Напишем теперь решение граничной задачи (1) в предположении, что полуплоскость, скажем верхняя, действительная ось, и что исчезают на бесконечности. Решение это дается формулами:

Внося во вторую из этих формул выражение для из первой формулы, и вводя обозначение

получаем, после очевидных преобразований:

Преобразуя последний интеграл интегрированием по частям, мы можем переписать последнюю формулу еще так:

Вернемся теперь к случаю, когда не есть полуплоскость, и попытаемся найти решение граничной задачи (1) в виде формул (3), (4), где теперь со обозначает некоторую функцию точки контура не известную заранее и подлежащую определению.

Мы будем считать, что искомая функция со имеет производную удовлетворяющую условию Это, как легко видеть, обеспечивает непрерывность функций вплоть до границы, т. е. регулярность решения (в смысле § 42).

Пользуясь формулами Сохоцкого — Племеля для граничных значений интегралов типа Коши и подставляя граничные значения функций определяемых формулами (3), (4), а также функции

(последнее выражение получено интегрированием по частям), в формулу (1), получаем после некоторых простых преобразований интегральное уравнение

Это и есть интегральное уравнение, полученное Д. И. Шерманом в цитированных статьях [15, 16]. Оно, как мы видим, весьма похоже на уравнение (9) § 98, которое для облегчения сравнения мы перепишем теперь так (переходя к сопряженным значениям):

но существенно отличается от него знаком при первом интегральном члене, правой частью и, главное, характером условия, налагаемого на искомую функцию: в уравнении (5) искомая функция не подчинена никаким условиям, кроме условий, касающихся характера непрерывности, а в уравнении (а) искомая функция должна быть граничным значением функции, голоморфной в Это последнее условие, как было уже сказано в § 98, выполняется само собой в случае конечной односвязной области, который мы сейчас рассматриваем, но в общем случае оно играет существенную роль.

Вернемся к уравнению (5). Полагая, как в § получаем:

Полагая, далее,

получаем систему двух уравнений Фредгольма:

Относительно последней системы надо заметить следующее. При т. е. в случае первой основной задачи, система эта обращается в систему, полученную Лауричелла (Lauricella [3]) для решения основной бигармонической задачи, которая, как уже говорилось, эквивалентна (с некоторой оговоркой в случае многосвязной области) первой основной задаче плоской теории упругости. При т. е. в случае второй основной задачи, система уравнений соответствует системе, также полученной Лауричелла (Lauricella [1, 2]) для второй основной задачи в трехмерном случае.

Однако у самого Лауричелла, который не пользуется интегралами типа Коши, связь между функциями, непосредственно фигурирующими в соответствующих задачах (бигармоническая функция в основной бигармонической задаче, компоненты смещения во второй основной задаче), и вспомогательными функциями точки контура представлена в весьма сложном (по крайней мере внешне) виде и сами интегральные уравнения записаны далеко не в таком простом виде, как система уравнений Это последнее обстоятельство, разумеется, не имеет принципиального значения, но зато большое значение имеют формулы (3), (4), устанавливающие связь между функциями и функцией а также форма (5) интегрального уравнения, ясно показывающая связь с интегралами типа Коши. Именно выявление этой связи чрезвычайно упрощает исследование, в особенности в случае многосвязных областей (о которых будет сказано ниже), и, кроме того, дает возможность получить простые (конечно, относительно) решения ряда других важных граничных задач. Поэтому представляется справедливым назвать уравнение (5) или (5) уравнением Шермана — Лауричелла.

В случае многосвязной области целесообразно, следуя Д. И. Шерману, несколько видоизменить формулы (3), (4) и вытекающие из них интегральные уравнения, что приводит к чрезвычайно простым (конечно, относительно) результатам; об этом будет подробно сказано в следующем параграфе.