§ 88. Дальнейшие примеры. Приложение к некоторым другим граничным задачам.
1. Изложенный в § 84—87 метод решения применим, в частности, ко всем односвязным областям, конформные отображения которых на круг указаны в качестве примеров в § 48. Из числа этих примеров случай бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием подробно рассмотрен нами в § 82, 83. Случай конечной области, ограниченной улиткой Паскаля, рассмотрен в § 63, где мы применили метод разложения в ряды; применение метода § 84 гораздо быстрее приводит к дели. Мы предоставляем читателю решение основных задач для этого случая только что указанным способом. Случай бесконечной плоскости с гипотрохоидальным отверстием (§ 48, п. 4) подробно изучен при помощи метода § 84 Г. С. Шапиро [1] в применении к некоторым практически важным задачам (см. еще в следующем параграфе о работах Г. Н. Савина).
Решение первой основной задачи для области, Ограниченной лемнискатой Бута (§ 48, п. 6), дано при помощи метода, указанного в § 85 Г. Н. Бухариновым [1].
Некоторые другие примеры, более интересные с точки зрения приложений, будут указаны в следующем параграфе.
2. Методом, аналогичным указанному в § 84—87, легко решается задача о соприкасании упругого тела с жестким профилем при отсутствии трения, когда область, занятая упругим телом, отображается на круг
при помощи рациональной функции. Решение задачи таким способом было дано автором в статье [19] и подробно изложено во втором издании этой книги. Более простое решение было дано в третьем издании и повторено в четвертом издании. Оно воспроизводится в следующей главе (§ 128).
3. Как было уже сказано в § 79а, задача об изгибе пластинки под влиянием нормальной нагрузки сводится в случае, когда края пластинки заделаны, к основной бигармонической задаче, т. е. к такой же граничной задаче, что и первая основная задача плоской теории упругости, а в случае, когда края свободны, — к такой же задаче, что вторая основная задача. А. И. Каландия [1] и М. М. Фридман [2] (приблизительно одновременно) показали, что случай, когда края пластинки оперты, приводит к задаче, аналогичной некоторой задаче плоской теории упругости, а именно той, которая упомянута в предыдущем пункте (см. также § 128 и замечание к нему).
Поэтому, если область, занятая пластинкой, отображается на круг при помощи рациональной функции, к упомянутым случаям может быть непосредственно (или почти непосредственно для третьего случая) применен изложенный выше метод эффективного решения. Относительно третьего случая см. Каландия [2].
Отметим еще, что, как показал Л. А. Галин [3], метод комплексного представления решений в соединении с конформным отображением дает возможность получить точное решение первой основной граничной задачи для бесконечной плоскости с круговым отверстием и в тех случаях, когда часть тела, полностью охватывающая отверстие, испытывает пластическую деформацию. Некоторые точные решения для такой же области при иных условиях нагружения приведены в монографии Г. Н. Савина [8].
Подобным же образом П. И. Перлин [1, 2] рассмотрел упруго-пластические задачи для бесконечной плоскости с отверстием довольно общего вида, как при полном, так и при частичном охвате отверстия пластической зоной, а также для некоторых двухсвязных областей.
Задачи такого типа, вообще говоря, весьма сложны, так как линия раздела упругой и пластической зон не известна заранее.
