IV. СМЕШАННЫЕ И КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Смешанные и контактные задачи относятся к числу наиболее важных для приложений и, по-видимому, наиболее трудных задач линейной теории упругости.
Общий метод решения некоторого типа смешанных и контактных задач, использующий аппарат теории функций комплексного переменного, и решение ряда конкретных задач изложены в гл. VI настоящей книги, а также в гл. V второго издания книги Н. И. Мусхелишвили [25].
§ 161. Смешанные задачи плоской теории упругости и теории изгиба пластинок.
Как было уже упомянуто в § 103 настоящей книги, Д. И. Шерман [17] дал способ решения основной смешанной плоской задачи теории упругости для многосвязной области. Г. Ф. Манджавидзе [1, 2] подробно исследовал сингулярное интегральное уравнение Д. И. Шермана, построенное для решения указанной задачи. Это же уравнение позволило Г. Ф. Манджавидзе [2] решить смешанную задачу изгиба нормально нагруженной тонкой изотропной пластинки, когда часть края пластинки заделана, а остальная — свободна. Если область, занятую пластинкой, можно отобразить конформно на круг при помощи полинома, то эту задачу, как и основную смешанную задачу (см. § 127), можно решить эффективно. Это сделано в статьях М. Е. Карапетяна [1] и Станеску (Stanescu [1]).
А. И. Каландия [2] построил систему сингулярных интегральных уравнений для решения общей задачи изгиба Пластинки, когда часть края заделана, другая — оперта, а остальная — свободна. Им же была построена система интегральных уравнений Фредгольма для решения задачи изгиба пластинки, когда часть края пластинки заделана, а остальная часть оперта (Каландия [1]).
В работе А. И. Каландия [10] предлагается способ, позволяющий находить приближенное решение некоторых задач об изгибе тонких пластинок, а также плоских задач теории упругости, когда упругая среда занимает полукруг. Задача решается приведением к некоторому сингулярному интегральному уравнению и последующим применением к этому уравнению численного метода решения; в работе способ изложен применительно к задаче изгиба пластинки, имеющей форму полукруга, когда пластинка заделана но полуокружности и свободна по диаметру.
В работах Д. И. Шермана [37, 38] были построены вполне регулярные бесконечные алгебраические линейные системы для решения задачи изгиба равномерно нагруженной круглой пластинки, когда одна часть дуги круговой границы оперта, а по оставшейся части дуги пластинка заделана или свободна. В работах Зорского (Zorski [1-4]) с помощью метода сингулярных интегральных уравнений и теории граничных задач линейного сопряжения решены задачи изгиба пластинок, когда пластинка имеет вид полуплоскости, квадрата или полуполосы и когда заданы смешанные граничные условия (край пластинки частично заделан, частично оперт или частично свободен).
При помощи метода интегральных уравнений Фредгольма в работах Новацкого (Nowacki [1 ]) и Калиского и Новацкого (Kaliski a. Nowacki [1]) были изучены смешанные задачи для прямоугольных пластинок.
Л. М. Куршин [1] построил интегральное уравнение для решения смешанной задачи для квадранта, когда на одной стороне квадранта равны нулю смещения, на другой — внешние напряжения и когда во внутренней точке квадранта приложена сосредоточенная сила.
В работе Я. С. Уфлянда [1] при помощи преобразования Меллина решена задача о плоской деформации клина, на одной грани которого заданы смещения, а на другой — напряжения. Следует отметить, что применение метода интегральных преобразований к задачам теории упругости подробно рассматривается в монографиях Снеддона (Sneddon [2]) и Я. С. Уфлянда [2].
И. Г. Альперин [1 ] решил задачу смешанного типа: бесконечная полоса сжимается в поперечном направлении полубесконечными абсолютно жесткими тисками на постоянную величину, без трения.
В работе М. Я. Беленького [1] рассмотрена смешанная задача для полосы, когда на части ее границы задано нормальное смещение, на оставшейся части — нормальное напряжение, касательное же напряжение равно нулю вдоль всей границы; построено и исследовано интегральное уравнение для нахождения нормального напряжения; для одного частного случая дано приближенное решение.
Ряд работ посвящен решению смешанных задач для полосы методом Винера — Хопфа. Построив приближенное решение интегрального уравнения типа Винера — Хопфа, Койтер (Koiter [3]) дал решение задачи изгиба пластинки в виде полосы, когда одна грань заделана или оперта, другая грань частично заделана, частично оперта.
Тем же методом в работе Соколовского (Sokolowski [2]) решена задача, рассмотренная в указанной выше работе И. Г. Альперина [1], а также рассмотрен случай, когда нормальное смещение изменяется по показательному закону.
В работах Соколовского (Sokolowski [1]), Мачинского (Matczynski [1]) методом Винера — Хопфа решены некоторые задачи смешанного типа для полосы (часть полосы оперта, остальная часть упруго закреплена; часть полосы свободна от напряжений, остальная часть упруго сжимается).
Г. П. Черепанов [1], используя граничные задачи линейного сопряжения, решил в общей постановке основную смешанную задачу плоской теории упругости для плоскости с разрезами, расположенными на одной прямой (ср. § 120 настоящей книги). Им же (Черепанов [2]) дано решение основных граничных задач плоской теории упругости в неоднородной бесконечной пластинке с разрезами вдоль одной прямой или окружности.
В § 128 упомянута работа Д. И. Шермана [22], в которой выведены уравнения Фредгольма для решения рассматриваемой там задачи о соприкасании упругого тела с жестким профилем. В последующей работе Д. И. Шермана [39] выведена другая, более удобная система уравнений Фредгольма для решения той же задачи.
