§ 8. Случай плоского напряженного состояния.

Напряженное состояние тела называется плоским, параллельным плоскости если, взяв эту последнюю плоскость за плоскость будем иметь во всех точках тела

В этом случае будут отличны от нуля только три компоненты:

Если соотношения (1) имеют место не во всем теле, а в какой-либо данной точке, то говорят о плоском напряженном состоянии в данной точке.

Формулы (2) § 3 показывают, что для компонент вектора напряжения, действующего на любую площадку, проходящую через данную точку, будем иметь:

Из равенства следует, что при любой ориентации площадки действующее на нее напряжение будет параллельно плоскости

Квадратичная форма предыдущих параграфов в нашем случае принимает вид

и уравнение поверхности напряжений будет

В нашем случае это — цилиндрическая поверхность, след которой на плоскости Оху есть кривая второго порядка (4), имеющая центр в начале координат.

Если рассматривать площадки, нормальные к плоскости то для всех построений, указанных в § 7, достаточно ограничиться рассмотрением этой кривой, а не всей цилиндрической поверхности.

Найдем теперь формулы перехода от компонент напряжения

к компонентам

относительно новой системы осей, получаемой из старой путем поворота системы осей Оху в своей плоскости на угол а. Мы будем отсчитывать угол а (рис. 6) от старой оси Ох к новой Ох в положительном направлении вращения на плоскости ведущем кратчайшим путем от

Рис. 6.

Формулы перехода можно получить из формул (1) § 5, но мы предпочтем вывести их заново, пользуясь свойством инвариантности квадратичной формы (см. конец § 5). Вспоминая известные формулы перехода от компонент вектора к компонентам того же вектора относительно новой системы:

и внося эти выражения в правую часть равенства

получаем:

Отсюда, сравнивая коэффициенты при выводим:

После очевидных преобразований эти формулы можно переписать и так:

Непосредственная проверка показывает, что из предыдущих формул следует:

Первая из этих формул давно известна и была доказана выше для более общего случая [см. формулу (2) § 5]. Вторая, весьма важная и удобная, формула была указана Мичеллом (Michell [3]) и найдена независимо от него Г. В. Колосовым [1].

Если внести в эту формулу и отделить действительные части от мнимых, то получим выражения для через старые компоненты. Комбинируя эти выражения с первой из формул (8), получим выражения для в отдельности, которые, как легко проверить, совпадают с выражениями (7).

Отметим еще одну формулу, получаемую вычитанием двух предыдущих:

Вернемся к формулам (7). Они дают возможность весьма просто найти главные оси напряжений и главные напряжения.

Действительно, если суть искомые главные оси то должно быть откуда на основании последней из формул (7) следует:

Здесь а обозначает угол, отсчитываемый по указанному выше правилу, который главная ось Ох составляет с осью мы исключаем случай, когда одновременно ибо в этом случае всякое направление в плоскости Оху является, очевидно, главным.

Предыдущая формула дает для а два значения; если одно из них обозначим через то второе будет остальные значения отличаются от предыдущих на кратное . Для а можно, очевидно, взять любое из этих значений. Подставив это значение в первые две формулы (7), получим значения главных напряжений именно, первая формула дает значение главного напряжения соответствующего углу а, а вторая — значение соответствующее углу

Если за старые оси координат взять главные оси, то получим

и формулы (7) примут более простой вид:

Последняя формула показывает, что максимальное по абсолютному значению скалывающее напряжение равно

т. е. равно абсолютному значению полуразности главных напряжений. Оно достигается для двух взаимно перпендикулярных площадок, делящих пополам углы между главными направлениями Ох, Оу (речь идет о площадках, перпендикулярных к плоскости

Выпишем, наконец, формулы, по которым можно определить величины если даны главные напряжения и угол а, который главная ось, соответствующая образует с осью Эти формулы получим из формул (10), поменяв ролями старые и новые системы и заменив угол а на —а. Именно, будем иметь:

Формулы (11) эквивалентны следующим, которые также вытекают непосредственно из формул (8):

Замечание. Легко видеть, что формулы перехода от компонент к компонентам при повороте осей Оху в своей плоскости останутся теми же, что и приведенные выше, и в том случае, когда мы имеем дело с напряженным состоянием общего вида (а не только плоским), но при условии, что ось Oz является одной из главных осей (в рассматриваемой точке). Действительно, в этом случае

(в рассматриваемой точке). Тождество (5) § 5 примет в этом случае вид:

ибо по предположению ось Oz остается неизменной, а следовательно, обозначает главное напряжение, соответствующее оси т. е.

Из предыдущего равенства следует равенство (а) настоящего параграфа, откуда и были выведены упомянутые выше формулы.