§ 111. Случай разрывного коэффициента.

Не представляет также никакого труда найти решение задачи в случае, когда коэффициент в граничном условии

оставаясь постоянным на различных участках линии изменяется скачком при переходе от одного участка к другому; под участками мы понимаем части, на которые можно разбить линию конечным числом точек взятых на ней. Только в этом случае следует допустить, что функция может быть неограниченной вблизи точек разрыва так же, как и вблизи концов линии удовлетворяя, однако, такому же условию, как вблизи концов; вообще точки играют роль, аналогичную концам.

Предоставляя читателю составить решение в общем случае, мы рассмотрим здесь следующий случай, который только и понадобится нам в дальнейшем.

Пусть простой замкнутый контур и пусть на этом контуре взято концов (рис. 50); обозначения выбраны так, чтобы, обходя в положительном направлении, мы встречали точки в указанном порядке.

Рис. 50.

Обозначим через совокупность дуг а через остальную часть т. е. совокупность дуг и предположим, что

где постоянная, вообще комплексная. Таким образом, граничное условие (1) запишется так:

Мы будем считать, что заданная функция удовлетворяя условию на частях в отдельности, может изменяться скачком при переходе через точки

Рассмотрим сперва однородную задачу:

Второе из предыдущих равенств показывает, что значения искомого решения внутри и вне контура аналитически продолжают друг друга через часть контура иначе говоря, что часть фактически не является линией скачков.

Таким образом, мы приходим к той же однородной задаче, что и в предыдущем параграфе:

здесь функция, голоморфная на разрезанной вдоль плоскости. Следовательно, например, функция определяемая формулами (2) и (5) § 110, является при частным решением задачи (3), в чем, впрочем, легко убедиться непосредственно; при вместо следует взять функцию определяемую формулой (15) § 110.

Перейдем теперь к неоднородной задаче (3). Пользуясь решением и замечая, что согласно формуле (9) § 110 (вспомним, что здесь через обозначено то, что в предыдущем параграфе было обозначено через

и что

ибо функция голоморфна всюду, кроме точек линии можем переписать граничное условие (3) в виде одной формулы:

откуда, как в § 108, следует:

где произвольный полином; мы допускаем здесь наличие полюса в бесконечно удаленной точке. Если мы хотим, чтобы функция была голоморфна и при мы должны считать, что степень не превосходит если же должна исчезать на бесконечности, то степень не должна превосходить

Если действительная положительная величина, то в формуле (6), вместо следует взять

В случае, когда допускается наличие полюсов функции в заданных точках, не расположенных на формула (6) должна быть заменена формулой, совершенно аналогичной формуле (26) § 110.