§ 120. Граничные задачи для плоскости с прямолинейными разрезами

Методом, аналогичным предыдущему, можно легко решить основные граничные задачи, а также некоторые другие, когда область, занятая телом, представляет собой всю плоскость с прямолинейными щелями, расположенными вдоль одной и той же прямой, которую мы примем за действительную ось. Мы начнем с вывода некоторых формул, аналогичных формулам § 112.

1. Общие формулы. Пусть область занятая упругим телом, представляет собой всю плоскость, разрезанную вдоль отрезков оси совокупность этих отрезков мы теперь обозначим через

Мы не будем считать в этом параграфе, что напряжения исчезают на бесконечности, а будем лишь предполагать их ограниченными на бесконечности.

Тогда функции и голоморфны в включая бесконечно удаленную точку, и при больших согласно формулам (4), (5) § 36:

где обозначает главный вектор внешних усилий, приложенных к краям совокупности разрезов

— постоянные, имеющие значения, определяемые формулами (§ 36):

где значения главных напряжений на бесконечности, а — угол, который ось, соответствующая составляет с осью , а — значение вращения на бесконечности.

Применяя наши обычные обозначения, введем в рассмотрение функцию

также голоморфную в и имеющую на основании формул (1) при больших вид

Заменяя в формуле на z и переходя к сопряженным значениям, получаем:

Так как компоненты напряжения выражаются через и то мы можем выразить их также через и

В частности, на основании формулы (8) § 32 будем иметь:

Аналогично могут быть выражены компоненты смещения, если вместо ввести функцию

определяемую по функциям как и функции с точностью до аддитивной постоянной. Тогда формула (1) § 32 примет вид:

В дальнейшем мы будем считать, что функции кусочно-голоморфны в смысле определения § 106, так что, в частности, вблизи любого из концов

где А, а — положительные постоянные, причем а с обозначает соответствующий конец. Кроме того, мы будем считать, что для всех принадлежащих но не совпадающих с концами,

2. Первая основная задача. Перейдем теперь к решению первой основной задачи т. е. будем считать заданными значения на значками отмечены, как всегда, граничные значения, принимаемые соответственно на верхнем и нижнем краях щелей (разрезов).

Кроме того, мы будем считать заданными постоянные т. е. значения напряжений на бесконечности. Так как речь идет о распределении напряжений, то, не нарушая общности, мы будем считать, что т. е. что

На основании формул (7) и (11) граничные условия принимают вид:

Складывая и вычитая, получаем:

где заданные на функции:

Мы будем считать, что удовлетворяют на условию

Так как то общее решение граничной задачи (14) дается формулой (§ 108):

Далее, полагая

и применяя формулу (33) § 110, получаем общее решение граничной задачи (13), ограниченное на бесконечности:

где обозначает полином степени не выше

под подразумевается значение, принимаемое функцией на левой стороне

Из формул (16) и (18) следует:

где

При наших условиях относительно условие (11) удовлетворено на основании сказанного в § 69 .

Остается определить полином Будем считать для определенности, что под подразумевается ветвь, имеющая при больших вид

Коэффициент сразу определяется по первой формуле (20) и по условию

Остальные коэффициенты должны быть определены из условия однозначности смещений. На основании (9) это условие заключается в том, что выражение хер должно возвращаться к своему первоначальному значению, когда точка z описывает замкнутые контуры охватывающие отрезки Стягивая контуры к отрезкам легко убедиться, что условие однозначности выражается следующими равенствами:

которые представляют собой систему линейных уравнений относительно

Эта система всегда разрешима. В самом деле, однородная система, получаемая в случае не может иметь решения, кроме решения ибо исходная задача, как легко установить обычным путем, имеет в этом случае лишь тривиальное решение Поэтому неоднородная система (24) всегда однозначно разрешима. Таким образом, наша задача решена.

В частном случае, когда края щелей свободны от напряжений (задача растяжения пластинки, ослабленной трещинами), и решение принимает чрезвычайно простой вид:

причем коэффициенты полинома определяются условиями:

При (одна щель), полагая получаем весьма простые формулы:

Решение (менее простое) задачи для частного случая фактически содержится в § 82а как частный случай задачи равновесия пластинки с эллиптическим отверстием под влиянием заданных усилий, приложенных к обводу.

3. Вторая основная задача. Рассмотрим теперь вторую основную задачу, т. е. будем считать, что на заданы значения смещений на верхнем крае и на нижнем, причем, если и обозначают (заданные) смещения точек то

Кроме того, мы будем считать заданными постоянные (на этот раз мы не считаем а также главный вектор внешних усилий, приложенных к

Для того чтобы не рассматривать непосредственно функций которые могут быть многозначными, будем исходить при составлении граничных условий не из формулы (9), а из формулы, получаемой из нее дифференцированием по х:

где и, и — частные производные по х. Согласно предыдущей формуле граничные условия запишутся так

Складывая и вычитая, получаем:

где заданные на функции:

Мы будем считать, что эти функции удовлетворяют на условию

Подобно предыдущему, общие решения граничных задач (32) и (31) даются соответственно формулами:

где есть функция, определяемая формулой (17), а значение этой функции на левой стороне

Предыдущие формулы определяют искомые функции и с точностью до слагаемого, содержащего полином

Первые два коэффициента и этого полинома непосредственно определяются из формулы (35), если принять во внимание, что в силу

формул (1) и (5) при больших должно быть:

Легко видеть на основании формул (28) и (30), что смещения вычисленные при помощи формулы (9) по найденным функциям будут однозначными. Однако эти смещения будут принимать на разрезах заданные значения лишь с точностью до некоторых постоянных слагаемых, которые могут оказаться различными на различных разрезах. Обозначим через постоянные, на которые отличается выражение вычисленное по функциям от заданных значений на разрезах Функции и будут удовлетворять условиям задачи лишь в том случае, если Легко видеть на основании формулы (29), что эти условия могут быть выражены так:

где в правой части фигурируют заданные величины — те же, что в формулах (28).

Внося в левую часть выражение (35), получим систему линейных уравнений для вычисления оставшихся еще неопределенными коэффициентов как легко видеть, подобно предыдущему, эта система всегда однозначно разрешима. Таким образом, задача решена. Решение для частного случая было получено нами в § 83 иным путем.

Аналогично предыдущему решается задача в случае, когда смещения заданы лишь с точностью до постоянных слагаемых, которые могут быть различными на различных щелях, но зато дополнительно задаются главные векторы внешних усилий, действующих на каждую щель в отдельности.

4. Одна смешанная задача. Решим в заключение одну задачу, рассмотренную Д. И. Шерманом [13]. В этой задаче задаются внешние напряжения, приложенные, скажем, к верхним краям щелей, и смещения на нижних краях. На основании формул (7) и (29) граничные условия запишутся так:

Умножая второе из этих равенств сперва на затем на и складывая с первым, получаем условия на

где заданные на функции; мы будем считать, что эти функции удовлетворяют условию на Таким образом, функции

определяются решением граничных задач (39) и (40), представляющих собой частные случаи задачи, решенной в § 110. По обозначениям § 110 для задачи , для задачи

Решая эти задачи по способу, указанному в § 110, и учитывая поведение функций на бесконечности, получаем:

где

причем

Под (2) и подразумеваются ветви, голоморфные на разрезанной вдоль плоскости.

Складывая и вычитая формулы (41) и (42), получаем явные выражения для и которые мы не выписываем.

Для определения коэффициентов полиномов и мы имеем следующие условия. Во-первых, условия, выражающие, что функции и ведут себя на бесконечности так, как того требуют первая из формул (1) и формула (5); мы считаем, что величины входящие в эти формулы, заданы. Во-вторых, условия, выражающие

однозначность смещений, как в случае, рассмотренном в п. 2. Наконец, условия, что на нижних краях щелей выражение принимает заданные значения, а не только лишь с точностью до некоторых постоянных; при этом, как в п. 3, достаточно выразить, что принимает на нижних краях щелей заданные значения с точностью до постоянной, одной и той же для всех щелей. Выразив эти условия, мы получим как раз систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов, и легко заключить на основании теоремы единственности (имеющей, как легко видеть, место при принятых нами условиях), что эта система всегда однозначно разрешима.

Рассмотрим, например, случай, когда имеется лишь одна щель нижний край которой удерживается неподвижно на верхний край свободен от напряжений на и когда напряжения и вращения равны нулю на бесконечности Будем, далее, считать, что главный вектор внешних сил, приложенных к нижнему краю, равен

Этот случай можно представить себе так: к нижнему краю припаяна жесткая прямолинейная полоска, на которую действует симметрично приложенная сила величины перпендикулярная к ней и направленная вниз (в сторону отрицательных

В нашем случае

и, так как должны исчезать на бесконечности (ибо будем иметь на основании формул (41) и (42):

где - постоянные. Эти постоянные определятся на основании условий, вытекающих из формул (1) и (5): при больших

откуда, считая, что под подразумеваются ветви, такие, что при получаем:

т. е.