§ 80а. Примеры.

1. Круговой диск под действием сосредоточенных сил, приложенных к контуру. Пусть к обводу кругового диска приложены сосредоточенные силы

в точках

Этим точкам на плоскости переменной соответствуют точки

При этих условиях выражение будет постоянным на каждой из дуг (ибо эти дуги свободны от внешних напряжений), но будет изменяться скачком, равным при переходе через точку (см. § 43).

Мы можем принять, например, что на дуге Тогда на дугах будем иметь соответственно:

Для того чтобы приняло прежнее значение при возвращении на дугу мы должны, очевидно, иметь

главный вектор приложенных сил должен, как и следовало ожидать, равняться нулю. Имеем далее:

Последний член равен нулю, но мы написали его для симметрии. После очевидных приведений получим:

Совершенно аналогично получим:

Остается только определить постоянную Мы можем воспользоваться для этого формулой (10) § 80; еще проще поступить следующим образом. Так как по условию то по формуле § 80, если подставить вместо интеграла в правой части найденное значение, продифференцировать по и положить получим:

Для того чтобы это было возможно при действительном необходимо, чтобы правая часть была действительной величиной. А это, как легко видеть, сводится к условию где т. е. к условию равенства нулю главного момента.

Если указанные выше условия (равенство нулю главного вектора и момента) соблюдены, то решение задачи на основании формул и (12) § 80 имеет вид:

Легко установить, что функция напряжений будет непрерывной вплоть до у так что мы будем действительно иметь данные сосредоточенные силы в указанных точках.

Пусть, например, на контур диска действуют две равные и противоположные силы и параллельные оси Ох и приложенные в точках

В этом случае, возвращаясь к старой переменной получим из формул (1), (2):

Напряжения будут даны формулами:

Подставляя сюда найденные значения и замечая, что

и что

(обозначение см. на рис. 35; положительны, когда точка z находится выше линии действия сил; отрицательны, когда она находится ниже), легко получаем:

откуда после очевидных преобразований:

Рис. 35.

Так же легко получить выражения для смещений, а именно: на основании формулы

будем иметь:

Для входящих в эту формулу многозначных логарифмических функций следует взять одну какую-либо ветвь. Если взять другие ветви, то получатся смещения, отличающиеся от первых только жестким перемещением всего тела.

Отделяя действительные и мнимые части и подставляя, вместо значение получаем:

В этих формулах В последней формуле вместо у можно написать , где I — расстояние центра до линии действия сил (это сводится к присоединению жесткого поступательного перемещения). В этом случае все точки, находящиеся на линии действия сил, останутся на ней и после деформации.

Если мы имеем дело не с плоской деформацией, а с тонким диском (§ 26), то вместо X надо взять а под подразумевать величину где сосредоточенная сила, а толщина диска (действительно, во всем предыдущем означает силу, действующую не на точку, а на прямую, перпендикулярную к плоскости Оху и рассчитанную на единицу длины этой прямой).

Можно привести еще большое число примеров подобного рода, представляющих интерес для технических приложений. В частности, можно очень просто получить решение для всех случаев, рассмотренных иным, искусственным, путем Мичеллом (Michell [2]).

2. Диск под влиянием сосредоточенных сил и пар, приложенных к внутренним точкам. В указанном случае решение получается также с чрезвычайной простотой из общих формул предыдущего параграфа. Для этого достаточно снабдить искомые функции определенными особенностями в точках приложения сосредоточенных сил и пар, как это указано в § 57. Предоставляя читателю найти общее решение, мы ограничимся для краткости примером двух прямо противоположных сил, одна из которых приложена

в центре, а другая — в произвольной точке диска. Не нарушая общности, мы можем считать, что вторая сила приложена к одной из точек оси направлена по ней). Таким образом, мы имеем две сосредоточенные силы: приложенную к точке приложенную к точке где действительная величина.

В рассматриваемом случае функции будут иметь следующий вид (см. § 57):

или, переходя к новой переменной

где обозначают функции, голоморфные внутри

Граничное условие (края диска мы предполагаем свободными) напишем так:

или, подставляя значения (4),

где

а значит,

Функции мы найдем по формулам (11) и (12) § 80, где вместо надо взять

Вычисление входящих в эти формулы интегралов не представляет ни малейшего труда. Именно, замечая, что функция голоморфна вне 7 и обращается при а функция голоморфна внутри у, будем иметь на основании формул § 70 и на основании

формулы Коши:

Далее, на основании тех же формул:

Значит, будем иметь:

Чтобы вычислить заметим, что равно значению производной при от предпоследнего выражения (см. предыдущий параграф). Элементарное вычисление дает:

Таким образом, на основании формул и (12) § 80 получим после элементарных преобразований:

В последнем выражении отброшено постоянное слагаемое. Наконец, для на основании формул (4) будем иметь выражения:

Таким образом, задача решена. Если мы имеем в виду тонкую пластинку, то вместо и надо взять

Так же просто решается задача для системы произвольно расположенных сил (разумеется, статически эквивалентной нулю).

3. Вращающийся диск с прикрепленными сосредоточенными массами. Пусть упругий тонкий диск

вращается с угловой скоростью вокруг своего центра и пусть к нему прикреплены (в произвольных точках) сосредоточенные массы в любом количестве. Достаточно найти решение для случая, когда имеется одна масса ибо решение для общего случая получится наложением нескольких таких решений.

Действие сосредоточенной массы сводится, очевидно, к действию сосредоточенной центробежной силы, направленной радиально и равной по величине где I — расстояние точки прикрепления груза до оси вращения; ось вращения будет оказывать реакцию, равную и противоположную этой силе и приложенную в центре. Таким образом, решение нашей задачи получим, наложив на решение задачи о вращении диска без прикрепленной массы (конец § 59а) решение задачи, рассмотренной в предыдущем примере. В нашем случае где толщина диска (ибо рассчитывается на единицу высоты).

Так же просто может быть решена задача о вращении кругового диска вокруг эксцентрической оси.