§ 21. Основные уравнения в компонентах смещения.

Система уравнений (1), (2) предыдущего параграфа содержит одновременно и компоненты смещения и компоненты напряжения. Можно, однако, составить систему, содержащую только те или другие компоненты. Проще всего составить систему, содержащую компоненты смещения. Для этого достаточно внести выражения (2) § 20 в уравнения (1) § 20; тогда после очевидных упрощений получим:

где положено по-прежнему

а символ обозначает операцию Лапласа, т. е.

Навье (Navier, 1785-1836) еще в 1821 г. получил, исходя из представления упругого тела как системы материальных точек, уравнения, которым должны удовлетворять смещения точек упругого тела как в динамическом, так и в статическом случае.

Уравнения Навье, относящиеся к последнему случаю, совпадают по существу с уравнениями (1), если в этих последних положить: Нахождение этих уравнений можно рассматривать как один из существеннейших этапов в развитии теории упругости, и поэтому Навье по справедливости причисляется к числу главнейших ее основателей.

Уравнения (1) весьма удобны по своей симметрии и еще потому, что содержат только три неизвестных.