§ 136. Изгиб парами, приложенными на концах.

И в этом случае решение вполне элементарно.

Рис. 59.

Согласно распространенному обычаю будем изображать на чертеже брус расположенным горизонтально, направив ось Oz слева направо, а ось Ох - вертикально вниз, как указано на рис. 59 (ось Оу не изображена; она направлена от читателя, ибо мы применяем правую систему координат).

Основания, которые мы раньше называли «нижним» и «верхним», теперь будут соответственно «левым» и «правым».

Кроме того, будем считать, что точка О взята в центре тяжести левого основания, так что ось Oz есть «центральная ось», т. е. ось, проходящая через центры тяжести сечений.

Постараемся удовлетворить условиям задачи, полагая

Эти значения, очевидно, удовлетворяют уравнениям равновесия и уравнениям совместимости (§ 130). Посмотрим, будут ли напряжения, приложенные (справа) к какому-либо поперечному сечению эквивалентны изгибающей паре.

Главный вектор этих усилий равен нулю, так как

Последний интеграл равен нулю в силу того, что начало координат находится в центре тяжести сечения.

Главный момент упомянутых усилий относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения и параллельной оси Оу, равен

где I — момент инерции основания относительно оси Оу.

Наконец, главный момент этих усилий относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения и параллельной оси равен

Если

т. е. если оси координат суть главные оси инерции сечения (относительно центра тяжести его), то момент (в) равен нулю и усилия эквивалентны паре, векторный момент которой параллелен оси Оу и определяется формулой При заданной величине постоянная а определится формулой

Предположим, что координатные оси выбраны только что указанным образом. Тогда мы получим решение задачи изгиба бруса парами, приложенными на концах, моменты которых параллельны одной из главных осей инерции сечения относительно центра его тяжести.

Резюмируем полученный результат. Пусть на правое основание бруса действует пара, векторный момент которой направлен по одной из главных осей инерции основания относительно центра тяжести. Если за оси взять главные оси инерции какого-либо сечения, например левого основания (относительно центра тяжести), направив ось Оу параллельно моменту пары, то решение задачи изгиба будет дано формулами:

Здесь обозначает момент инерции основания относительно оси алгебраическое значение момента пары (положительное, если векторный момент направлен так же, как ось Оу).

Непосредственной проверкой легко убедиться, что смещения, соответствующие предыдущему распределению напряжений, даются формулами:

к правым частям можно еще прибавить члены, выражающие жесткое перемещение всего бруса.

Плоскость является «нейтральной плоскостью»: волокна, расположенные в ней, не растянуты и не сжаты. Волокна, расположенные с одной стороны этой плоскости, растянуты, а расположенные с другой — сжаты.

Нормальное напряжение распределяется на сечении по линейному закону, выражаемому формулой (1) (см. также рис. 59).

Точки «центрального волокна», имевшие до деформации координаты переходят, как показывают формулы (2), в точки с координатами где

Значит, центральное волокно остается в плоскости называемой поэтому плоскостью изгиба. Она параллельна в нашем случае плоскости изгибающей пары. Радиус кривизны этой линии (после деформации) определяется (с точностью до малых величин высшего порядка) формулой (мы считаем, что если выпуклость направлена вниз):

откуда вытекает важное соотношение:

выражающее так называемый закон Бернулли — Эйлера: кривизна центрального волокна пропорциональна изгибающему моменту. Величина называется жесткостью при изгибе. Так как для получилось постоянное значение, то центральное волокно в изогнутом состоянии представляет собою окружность 2) радиуса который надо считать весьма большим ввиду малой деформации, а именно: величина должна быть того же порядка малости, который допускается для деформаций.

Точки, расположенные до деформации в нормальном сечении с, переходят после деформации в точки с координатами причем, в частности, на основании последней из формул (2)

Заменяя в правой части х через что мы имеем право сделать ввиду малости множителя получаем:

это есть уравнение плоскости (перпендикулярной к плоскости изгиба). Итак, нормальные сечения остаются плоскими.

Если момент изгибающей пары не направлен по одной из главных осей сечения, то эту пару всегда можно разложить на две, каждая из которых удовлетворяет этому условию, и решение задачи получим, налагая два решения только что указанного вида. В этом общем случае плоскость изгиба не совпадает с плоскостью пары; однако и здесь она перпендикулярна к нейтральной плоскости, существующей и в этом случае.

Мы предоставляем читателю доказать эти простые свойства.