§ 114. Решение основной смешанной задачи.

1. Пусть

— совокупность конечного числа отрезков действительной оси обозначенных так, что, проходя эту ось в положительном направлении, мы встречаем концы в последовательности и пусть на заданы компоненты смещения, а на остальной части границы — компоненты внешнего напряжения. Мы считаем по-прежнему, что упругое тело занимает нижнюю полуплоскость границу его, т. е. действительную ось, мы будем по-прежнему обозначать через

Умея решать первую основную задачу, мы, очевидно, всегда можем свести рассматриваемую смешанную задачу к случаю, когда заданные на компоненты внешнего напряжения равны нулю. Поэтому будем считать, что часть границы свободна от внешних напряжений, т. е. что

(легко также получить непосредственно решение и для общего случая, о чем будет сказано в замечании в конце параграфа).

Ввиду значительного практического интереса нашей задачи мы рассмотрим, наряду с обычной основной смешанной задачей в том виде, как она сформулирована выше, и которую мы будем называть задачей А,

также несколько видоизмененную задачу, которую будем называть задачей В.

В обеих этих задачах граничное условие на имеет вид:

где заданная на функция.

В задаче А предполагается, что с на и что дополнительно задан главный вектор внешних усилий, приложенных к Не нарушая общности, можно, например, положить ибо значение с влияет только на жесткое поступательное перемещение всей системы.

В задаче В предполагается, что с на где постоянные, не задаваемые заранее, вообще различные на различных отрезках. В этом случае предполагается, что заданы главные векторы внешних усилий, приложенных к каждому отрезку в отдельности. Не нарушая общности, можно произвольно зафиксировать одну из постоянных например положить При задача А совпадает с задачей В.

Поясним механический смысл этих задач. Представим себе, что над участками границы расположены жесткие штампы, основания которых имеют заданную форму, и что точки участков границы упругого тела определенным образом приведены в соприкасание с точками оснований штампов и неизменно сцеплены (спаяны) с ними. Предположим далее, что к штампам приложены заданные силы и что штампы вынуждены перемещаться лишь поступательно. Задача о равновесии упругой полуплоскости при этих условиях есть наша задача А, если штампы жестко связаны между собой; если же штампы могут перемещаться (поступательно) независимо друг от друга, то мы приходим к задаче В.

Для большей ясности приведем следующий частный пример. Пусть имеется один штамп, профиль основания которого до приведения штампа в соприкасание с упругой полуплоскостью имел уравнение Предположим далее, что штамп вдавливается в упругую полуплоскость заданной силой, перпендикулярной к границе, и что трение между штампом и упругим телом настолько велико, что скольжение не может иметь места. Тогда, предполагая, что в соприкасание со штампом вошел участок границы, получим граничное условие (2), в котором причем постоянная, которую можно считать равной нулю. Аналогично для случая нескольких штампов, связанных или не связанных между собой.

Указанную выше задачу о штампах можно обобщить, предполагая, что штампы имеют возможность не только перемещаться поступательно, но и вращаться (об этом будет сказано ниже, см. п. 4).

Легко показать, что каждая из задач не может иметь более одного решения, если отвлечься от перемещения всей системы (упругой полуплоскости и штампов) как жесткого целого. В самом деле, мы можем почти буквально повторить доказательство, приведенное в § 40 (см. также § 90, п. 3), если заметим, что и в рассматриваемом здесь случае интеграл по границе области от выражения составленного для разности двух возможных решений, равен нулю. Действительно, на части границы Далее, в случае задачи А можно считать для разности решений и на границе; в случае же задачи В (в этом случае для разности решений на все интегралы

равны нулю, так как для разности двух решений главные векторы внешних усилий, приложенных к участкам равны нулю.

В дальнейшем нам придется применять теорему единственности и к случаям, когда компоненты напряжения не продолжимы непрерывно на точки В этих случаях, как было уже отмечено в § 40 (п. 3, замечание), теорема единственности остается в силе, если интегралы от выражения составленного для разности решений, взятые по бесконечно малым полуокружностям, описанным из точек как из центров, и расположенным в стремятся к нулю вместе с радиусами полуокружностей. Во всех рассматриваемых ниже случаях это условие будет соблюдено, что читатель легко сможет каждый раз проверить.

Мы будем считать по-прежнему, что функция удовлетворяет условиям, указанным в § причем роль точек играют здесь концы отрезков Будем, кроме того, считать, что заданная функция имеет первую производную удовлетворяющую условию на

В обеих задачах граничное условие (2) дает: на откуда на основании формулы (15) § 112

Граничное же условие (1) эквивалентно требованию, чтобы на т. е. чтобы функция была голоморфной на всей плоскости, разрезанной вдоль что мы и будем предполагать.

Условие (3) существенно отличается от условия (5) § 113 тем, что теперь представляет собой лишь часть оси

Решение граничной задачи (3), исчезающее на бесконечности, может быть сразу написано на основании формулы (18) § 110. В нашем случае согласно формуле (5) § 110

или

где через обозначена действительная величина:

Поэтому согласно формуле (2) § 110

В дальнейшем для упрощения письма мы будем обозначать просто через а через Таким образом,

и

где в правой части следует подразумевать значения, принимаемые на верхней стороне оси Ох (т. е. слева от если точка находится вне т. е. на то значения слева и справа совпадают: если же находится на то по самому определению функции имеем: откуда

Применяя теперь формулу (18) § 110, получаем:

где полином степени не выше :

ибо, по условию, функция должна исчезать на бесконечности.

Остается определить коэффициенты полинома исходя из дополнительных условий задач

2. Рассмотрим сперва задачу в этом случае дополнительными условиями служит задание главных векторов Чтобы выразить это условие, вычислим нормальное давление и касательное напряжение действующие на границу полуплоскости под штампами, т. е. на

По формуле (14) § 112 для точки на имеем:

или, принимая во внимание (3),

Применяя к правой части формулы (8) формулу Сохоцкого — Племеля, легко выводим:

внося это значение в формулу и вводя для сокращения письма обозначение

получаем:

Выражая, что

получаем систему линейных уравнений для определения постоянных эта система однозначно разрешима, как легко заключить на основании единственности решения исходной задачи.

3. Переходим к задаче А. Так как найденное решение удовлетворяет условию на (что, кстати, легко проверить непосредственной подстановкой), мы будем на отрезках иметь

постоянные. Остается учесть условие, что,

если нам удастся удовлетворить этому условию, то мы сможем удовлетворить и условию за счет произвольной постоянной в правой части формулы (18) § 112.

Для того чтобы выразить условия (15), вычислим значения на незагруженной части границы. На основании формулы (15) § 112 имеем для точек на

где дается формулой (12), причем на этот раз находится на Ох вне (т. е. на ). Очевидно, что условия (15) сводятся к следующим:

Подставляя в эту формулу из формулы (16), получаем, очевидно, систему линейных уравнений для Еще одно уравнение дается условием, что главный вектор внешних усилий, приложенных к задан. Проще всего выразить это последнее условие, исходя из первой формулы (4) § 112, откуда следует

Применяя это к выражению (8), получаем сразу, что коэффициент при полинома дается формулой

Таким образом, остается определить лишь коэффициенты для которых мы имеем упомянутую выше систему линейных уравнений. Эта система всегда однозначно разрешима аналогично предыдущему случаю.

В частном случае, когда (штампы или фундаменты с прямолинейными основаниями, параллельными оси формулы (8) и (13) принимают весьма простой вид, так как интегральный член обращается в нуль.

4. До сих пор мы считали, что штампы могут перемещаться лишь поступательно. Рассмотрим теперь случай, когда штампы могут вращаться (разумеется, в своей плоскости).

Пусть в задаче А (когда штампы жестко связаны друг с другом) обозначает угол поворота системы штампов, отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда в граничном условии (2) следует заменить на что повлечет во всех последующих формулах замену на В соответствии с этим в выражении для появится добавочное слагаемое, содержащее в качестве множителя.

Величина может не быть задана непосредственно; вместо этого может быть, например, добавочно задан главный момент внешних сил, действующих на систему штампов, относительно начала координат 3).

Тогда для определения мы будем иметь добавочное соотношение:

В случае задачи В углы ей поворотов различных штампов могут быть различными; если они не заданы непосредственно, а заданы, скажем, моменты внешних сил, действующих на отдельные штампы, то мы будем иметь добавочных уравнений для определения ей:

Легко показать, что эти задания вполне определяют решение с точностью до жесткого поступательного перемещения всей системы; доказательство совершенно аналогично тому, которое было указано выше для случая, когда штампы могут перемещаться лишь поступательно.

Замечание. Если часть границы загружена заданными внешними напряжениями, то граничное условие принимает вид

где

а заданная функция:

где и обозначают, как в § 113, давление и касательное напряжение; мы будем считать, что и удовлетворяют условию на включая бесконечно удаленную точку, и исчезают при

Мы приходим, таким образом, к задаче, рассмотренной в § 111. Применяя формулу (6) § 111 получаем при обозначениях настоящего параграфа:

где интеграл берется уже по всей границе Коэффициенты полинома определяются аналогично предыдущему. О поведении в окрестности бесконечно удаленной точки сказанное в § 93, вслед за формулой (7).