§ 124а. Пример.

Растяжение плоскости с разрезом вдоль дуги окружности. Пусть упругая плоскость разрезана вдоль дуги окружности, пусть края разреза свободны от внешних напряжений и пусть заданы напряжения на бесконечности, т. е. заданы постоянные причем (что обозначает отсутствие вращения на бесконечности).

Мы примем по-прежнему радиус окружности равным единице и поместим начало координат в центре, направив ось Ох к середине дуги так, что если — центральный угол, соответствующий дуге то

В нашем случае По формулам (17) и (18) § 124 имеем:

где в нашем случае

Мы будем считать, что при Легко видеть, что при этом условии следовательно, вблизи точки

Поэтому при малых

Условие (19) § 124 дает:

Для определения постоянных мы можем воспользоваться формулой (6) § 124, которая в нашем случае примет вид:

и условиями (5) § 124. Принимая во внимание, что при больших

получаем на основании формул (2) и (8):

Второе условие (5) § 124 не дает ничего нового (оно совпадает с последним из предыдущих равенств). Для того же, чтобы выразить первое из упомянутых условий, заметим, что на основании формул (2), (6) и (7)

и что на основании формулы (3)

поэтому первое из условий (5) § 124 дает:

Соотношения (а) и (б) определяют все искомые постоянные, а именно, простые вычисления дают:

Легко проверить, что условие однозначности смещений соблюдено. Таким образом, задача решена.

В частности, если напряжения на бесконечности сводятся к растягивающему напряжению в направлении, составляющем угол а с осью (рис. 56), то

Рис. 56.

Если же мы имеем всестороннее растяжение то

В этом случае

и, следовательно,

В частности, для случая, когда разрез представляет собой полуокружность эти формулы принимают весьма простой вид: