ГЛАВА ПЯТАЯ. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ К РЕШЕНИЮ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Как уже говорилось выше, решение основных граничных задач теории упругости для областей общего вида представляет большие трудности практического характера. Однако существуют классы областей, для которых решение может быть получено эффективно и сравнительно простыми средствами. Один из таких классов в плоской теории упругости составляют области, которые конформно отображаются на круг рациональными функциями (мы уже встречались в § 63 с частным случаем этого класса). Этот класс на первый взгляд может показаться слишком узким; однако, как будет подробнее разъяснено в § 89, областями этого класса можно с любой точностью приблизиться к практически произвольным односвязным областям.
Почти вся настоящая глава посвящена решению граничных задач для областей указанного вида. Лишь в начале главы (§ 79) приводится решение первой и второй основных задач для произвольных областей, ограниченных одним замкнутым контуром, при помощи метода, органически связанного с методом решения для областей указанного выше частного вида, а в конце главы, кроме кратких сведений о других методах, подробно излагается данное Д. И. Шерманом решение упомянутых задач для областей, ограниченных произвольным числом замкнутых контуров (§ 102).
Мы увидим, что интегралы типа Коши представляют собой весьма удобный аппарат как для теоретического решения вопросов в общем случае, так и для получения практически применимых результатов.
I. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОГРАНИЧЕННЫХ ОДНИМ ЗАМКНУТЫМ КОНТУРОМ
В этом отделе мы излагаем один общий метод решения первой и второй основных задач для областей, ограниченных одним простым замкнутым контуром (§ 79). Эти решения даются интегральными уравнениями, которые в свою очередь непосредственно получаются из функциональных уравнений, выводимых в § 78. Упомянутые функциональные уравнения и являются основой для практических методов, излагаемых в следующих
отделах главы, и могут быть использованы непосредственно, без приведения к интегральным уравнениям. Поэтому читатель, не владеющий элементами теории интегральных уравнений, может пропустить § 79, так как чтение следующих отделов, содержащих решение задач для частных случаев, не требует знакомства с упомянутым параграфом.
