§ 85. Обобщение на случай отображения при помощи рациональных функций.

Случай областей, отображаемых на круг при помощи полиномов и при помощи функций вида (1), указанного в § 84 (стр. 323), есть частный случай областей, отображаемых при помощи рациональных функций общего вида. И в этом более общем случае решение может быть получено тем же путем, что и выше; единственной принципиальной разницей является то, что на этот раз приходится, вообще говоря, вычислять корни некоторого алгебраического уравнения.

Рассмотрим снова функциональное уравнение (10) § 78:

здесь обозначения те же, что в предыдущем параграфе, однако на этот раз рациональная функция общего вида, но, разумеется, такая, что осуществляет требуемое конформное отображение данной области на круг . В случае, когда область бесконечна, мы по-прежнему будем считать, что точке соответствует точка

И в рассматриваемом теперь случае интеграл в левой части уравнения (1) может быть вычислен элементарным путем, как будет сейчас показано.

Рассмотрим отношение со Оно представляет собой граничное значение рациональной функции

Так как теперь может иметь полюсы вне 7 не только в точке то может иметь полюсы внутри 7 не только в точке как это имело место в случаях, рассмотренных в предыдущем параграфе. Вне и на функция со полюсов, кроме точки иметь не может.

Обозначим полюсы функции отличные от полюса (если таковой имеется), через они все расположены вне у. Тогда

полюсами функции отличными от полюса будут:

все они расположены внутри у. Эти же точки и, вообще говоря, точка будут всеми теми полюсами функции со которые расположены внутри у. Поэтому, очевидно, указанная выше функция может быть представлена следующим образом:

где известные постоянные, рациональная функция, голоморфная внутри и на у, исчезающая при обозначают соответственно порядки полюсов Рассмотрим теперь произведение

Это произведение, очевидно, представляет собой функцию, голоморфную внутри у, за исключением точек где она может иметь полюсы порядков (но не выше) и поэтому может быть представлена в виде, аналогичном (2):

где постоянные, а функция, голоморфная внутри у и исчезающая при

Легко видеть, что имеет место следующее, важное для нас обстоятельство: постоянные являются линейными комбинациями (с известными постоянными коэффициентами) величин

а постоянные С — аналогичными комбинациями величин

Эти комбинации легко выписать в явном виде.

Далее, как легко видеть, постоянная является линейной комбинацией тех же величин а также величины Мы увидим ниже, что для решения рассматриваемой здесь задачи (т. е. первой основной задачи) нет надобности фактически вычислять постоянную В дальнейшем, говоря о величинах мы будем считать Перейдем теперь к выражению

фигурирующему в интеграле левой части уравнения (1); оно является граничным значением выражения

Это последнее на основании формулы (3) представляется в виде <не забудем, что Ни)

где функция, голоморфная вне у и исчезающая при

Величины являются, очевидно, линейными комбинациями величин, сопряженных с величинами (а) и аналогично относительно величины

Применяя теперь формулу (4) § 70, получаем сразу:

Внося это выражение в левую часть уравнения (1), получаем наконец:

Отсюда мы получаем выражение для представляющее собой функцию, голоморфную внутри у (и непрерывную вплоть до ибо точки расположены вне у.

Остается выразить, что величины линейными комбинациями которых являются величины представляют собой значения соответствующих производных в соответствующих точках функции определяемой равенством (5).

Эти условия легко выразить, дифференцируя соответствующее число раз равенство (5) и подставляя на место соответствующие значения или

Например, мы должны иметь:

и т. д. Таким образом, мы получим систему линейных уравнений (с постоянными коэффициентами) относительно неизвестных величин и сопряженных с ними. Эта система (ср. сказанное в предыдущем параграфе) будет однозначно разрешима, если в случае конечной области произвольно зафиксировать мнимую часть отношения и если также в случае конечной области соблюдено необходимое условие существования решения задачи:

Найдя величины мы найдем и значения постоянных подставив их значения в формулу (5), мы определим искомую функцию с точностью до постоянной С о, которую можно отбросить, так как она не влияет на распределение напряжений. Если же эту постоянную все же требуется найти для какой-либо цели, то достаточно вычислить по формуле (5) значение и подставить это значение вместе с найденными значениями величин в ту линейную комбинацию, которой выражается

Найдя мы сможем определить по формуле (8) § 78:

откуда, если принять во внимание, что есть граничное значение функции получаем непосредственно:

постоянное слагаемое и здесь можно отбросить.

Таким образом, задача решена. В случае бесконечной области иногда более удобно (главным образом в смысле наглядности) пользоваться отображением на область Все сказанное выше с очевидными небольшими изменениями применимо и к этому способу отображения.

Замечание. И здесь с очевидными изменениями можно применить способ решения, указанный в замечании 1 в конце предыдущего параграфа. Сказанное в замечании 2 к тому же параграфу также легко перенести на рассматриваемый здесь случай.

Вообще, изложенный выше метод решения можно различно варьировать и этим достигать в тех или иных конкретных случаях иногда значительных упрощений. Например, иногда выгодно предварительно умножить обе части равенства, выражающего граничное условие, на надлежащим образом выбранный полином. Один из таких способов указан в двух первых изданиях настоящей книги; вообще говоря, он приводит в конечном счете примерно к тем же выкладкам, что и изложенный здесь способ; однако в некоторых отдельных случаях он упрощает эти выкладки.