§ 57а. Применение к случаю наличия объемных сил.

Приведенные выше формулы можно применить к нахождению частных решений уравнений плоской теории упругости при наличии объемных сил, что дает возможность привести эти уравнения к уравнениям для случая отсутствия объемных сил (§ 28). Для этого можно поступить, например, следующим образом. Отбросив в формулах (2) и (3) § 57 слагаемые мы получим некоторое частное решение (при отсутствии объемных соответствующее действию сосредоточенной силы приложенной в точке

Компоненты смещения, соответствующие этому решению, даются формулой

вытекающей из формулы (1) § 32 и из формул (3) § 57.

Аналогично могут быть вычислены компоненты напряжения на основании формул (9), (10) § 32 и формул (2) § 57.

Возьмем теперь, вместо величины где и некоторые (действительные) функции точки - (бесконечно малый) элемент площади, заключающий эту точку. Мы получим тогда компоненты смещений и напряжений, (приближенно) соответствующих действию объемных сил [с компонентами

] на часть тела, соответствующую элементу Просуммировав полученные значения по всем элементам мы получим, как легко предвидеть, некоторое частное решение, соответствующее действию объемных сил на рассматриваемое тело в целом.

В частности, для компонент смещения получим:

Соответствующие компоненты напряжения могут быть вычислены либо непосредственно, аналогичным предыдущему путем, либо при помощи выражений для компонент напряжения через компоненты смещения, которые даются формулой (2) (см. также Добавление IV в конце книги). Можно непосредственно проверить, что при достаточно общих предположениях относительно функций мы действительно получим некоторое частное решение рассматриваемых уравнений.