ДОБАВЛЕНИЕ IV. ОДИН ВЫВОД ФОРМУЛ КОМПЛЕКСНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

1. В гл. II был приведен простой вывод формул общего представления решения уравнений плоской теории упругости при отсутствии объемных сил, по существу совпадающих с формулами Г. В. Колосова.

Эти формулы можно, разумеется, вывести и другими простыми способами. Одним из них является тот, которым пользовался сам Г. В. Колосов [1, 2]. Я не остановился на этом в основном тексте, так как способ получения формул общего представления существенного значения не имеет: существенно лишь то, как используются эти формулы для решения конкретных задач. Однако вследствие того, что некоторые авторы придают способу вывода формул общего представления определенное (на мой взгляд — преувеличенное) значение, я счел целесообразным сказать здесь несколько слов об упомянутых способах и привести один из них, охватывающий также случай наличия объемных сил.

2. Большинство выводов, приводимых различными авторами, основано на следующем приеме. Вместо действительных переменных х, у вводятся комплексные переменные

так что различные функции действительных переменных, скажем функция представляются в виде функций двух переменных

при этом с функцией оперируют иногда как с функцией двух независимых комплексных переменных Например, общее решение уравнения

где заданная и искомая функции, пишут в виде

где - «произвольная» (подразумевается — аналитическая) функция

от Очевидно, что таким рассуждениям можно придать определенный смысл лишь в частных случаях (о некоторых из них см. ниже п. 3) и при весьма существенных оговорках. Формулы вида иногда применял и Г. В. Колосов; см.-, например, его книгу [6], § 8 и статью [3]. Следует, однако, отметить, что выводы формул общего представления (при отсутствии объемных сил), данные в его основных работах [1, 2], предшествующих названным, можно считать вполне строгим, если добавить к ним некоторые, впрочем почти очевидные, пояснения.

Ниже, в п. 4, приведем один вывод, аналогичный упомянутым выше, но строго обоснованный, и начнем с некоторых предварительных замечаний. 3. Введем в рассмотрение следующие операции:

применимые к любым дифференцируемым в некоторой области функциям где действительные функции действительных переменных х, у.

Если

то, в силу условий Коши — Римана, где аналитическая функция от z, и обратно, а если

то где аналитическая функция от z, и обратно. Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение

где искомая, а заданная функции, или в раскрытом виде систему дифференциальных уравнений

Если то уравнение (3) и эквивалентная ему система (3а) обращаются в однородные и выражают условие Коши — Римана. Ясно, что общим решением однородного уравнения, соответствующего

уравнению (3), является произвольная аналитическая функция комплексного переменного z и что общее решение неоднородного уравнения (3) получим, прибавив к какому-либо его частному решению произвольную аналитическую функцию от

Что же касается частных решений, то при некоторых общих условиях, которые будут указаны ниже, одним из таких решений будет функция определяемая формулой

где произвольная точка области

Мы будем считать здесь и в дальнейшем, что область подчинена тем же общим условиям, как и в основном тексте книги, и что в случае бесконечной области

Справедливость утверждения, что функция определяемая формулой (4), является (частным) решением уравнения (3), можно доказать при некоторых условиях, налагаемых на функцию непосредственной проверкой, не совсем, впрочем, простой, так как дифференцирование под знаком интеграла здесь недопустимо вследствие сильной сингулярности подынтегрального выражения. В п. 5 настоящего Добавления мы приведем доказательство, применимое к случаю, когда функция непрерывно дифференцируема в области В п. 6 будут указаны и более общие условия, при которых наше утверждение остается справедливым. Общее решение уравнения (3) будет дано формулой

где произвольная аналитическая функция.

Аналогично одно из частных решений уравнения

дается формулой

а общее решение — формулой

где произвольная аналитическая функция.

Отметим еще, что во многих частных случаях можно получить решение уравнений (3) или (5) совершенно элементарно.

Например, если представляет собою полином или, более общо, рациональную функцию от ее, то эту функцию можно представить в виде полинома или рациональной функции от

(теперь уже такое представление имеет определенный смысл) и тогда, например, решение уравнения (5), как легко непосредственно проверить, представится в виде

где произвольная аналитическая функция от z, а интеграл вычисляется так, как если бы величина z оставалась постоянной. Как было уже сказано в п. 2, формула (7) теряет смысл в общем случае.

Вообще на практике можно часто обойтись без применения формул (4) или (6), пользуясь теми или иными приемами. Приведем два простых примера, которые нам понадобятся в дальнейшем. Пусть требуется решить уравнение вида (5):

заданная непрерывная функция в удовлетворяющая в случае бесконечной области условию (4а) при Замечая, что, очевидно,

можем представить уравнение (8) в виде

(дифференцирование под знаком интеграла здесь допустимо), откуда непосредственно следует, что одним из частных решений уравнения (8) будет

Поступая аналогично, мы можем представить частное решение уравнения

в виде

4. Перейдем теперь к упомянутому выше выводу формул общего представления. Будем исходить из уравнений плоской теории упругости в смещениях формула (4)]:

в области где, как всегда, компоненты смещения, компоненты объемной силы и

Уравнения (1) можно записать в виде одного комплексного уравнения:

где положено

Отметим, что

Операцию следует рассматривать как понимая операции как указано в п. 3 [формулы (1)].

Уравнение (2) можно еще представить в виде

откуда, применяя формулу (4) п. 3, выводим

где произвольная аналитическая функция, которую мы представили в виде производной от произвольной аналитической функции, а множитель введен для удобства; как всегда,

Складывая формулу (4) с формулой, полученной переходом к сопряженным значениям, находим:

Подставляя это значение в формулу (4) и пользуясь на этот раз формулами (9) и п. 3, получим после простых выкладок и введения

надлежащих обозначений следующую формулу:

где некоторая произвольная аналитическая функция.

Формула (5) дает общее представление решения уравнений плоской теории упругости в смещениях. Если в (5) положить то получим формулу, относящуюся к случаю отсутствия объемных сил, которой мы постоянно пользовались в основном тексте. Полагая же мы получим как раз то частное решение уравнений плоской теории упругости при наличии объемных сил, которое было найдено иным путем в § 57а.

Для вывода формул, выражающих компоненты напряжения, воспользуемся формулами:

вытекающими из формул (2) § 25.

Подставляя в эти формулы выражение (5) для получим без труда:

Эти формулы при отсутствии объемных сил, т. е. при совпадают с приведенными в основном тексте.

Следует еще отметить, что аналогичные выводы формул общего представления при наличии объемных сил имеются и в некоторых работах Г. В. Колосова, например в его книге [6]. Однако выводы эти нельзя признать строгими (по крайней мере без существенных оговорок), так как автор пользуется приемом, о котором говорилось в п. 2, в частности формулами вида

Для случая, когда существует потенциал объемных сил, т. е. когда

где некоторая функция от х, у, формулы общего представления были даны С. Г. Михлиным [10].

Этот же случай был позднее рассмотрен Стевенсоном (Stevenson [1, 2]). В первой из указанных работ этот автор пользуется формулами вида п. 2, во второй же он дает вывод формул общего представления, не пользуясь формулами вида В полученных им формулах общего представления фигурирует некоторая функция определяемая условием

автор не дает явного выражения для этой функции.

Формулы общего представления при наличии объемных сил и некоторые их приложения даны также Ю (Yi-Yuan Yu [1 ]) и Ф. Шеленговским [1].

5. Приведем в заключение временно опущенное нами доказательство утверждения, что формула (4) п. 3 дает одно из частных решений уравнения (3) п. 3. Это относительно простое доказательство было сообщено мне Векуа.

Для упрощения обозначений мы будем теперь вместо писать где по-прежнему а вместо писать или так что формула (4) п. 3 представится в виде

Мы будем по-прежнему считать, что в случае бесконечной области при больших

Кроме того, мы будем считать, что функция т. е. функция формулы (4) п. 3, непрерывно дифференцируема, т. е. имеет непрерывные частные производные по и

Нам надлежит доказать, что в любой точке области

Очевидно, достаточно доказать справедливость этой формулы для сколь угодно малой окрестности произвольно фиксированной точки области В качестве мы возьмем круг радиуса с центром в точке целиком расположенный в области В дальнейшем мы будем считать, что z изменяется внутри круга

Функцию можно теперь представить в виде

где обозначают интегралы вида (1), но взятые соответственно по областям

Очевидно, что голоморфная в функция и поэтому

в области Следовательно, нам остается показать, что в этой области

где

Распространим теперь функцию фигурирующую в предыдущем интеграле и заданную в круге на всю плоскость так, чтобы полученная новая функция определенная уже на всей плоскости и совпадающая в области с функцией была непрерывна и непрерывно дифференцируема всюду и удовлетворяла условию (1а). Такое распространение можно, как легко видеть, осуществить бесчисленным множеством способов. Положим теперь:

где обозначает всю плоскость, и интегралы, распространенные соответственно по областям

Ясно, что голоморфная в функция и поэтому

Таким образом, нам остается показать, что в области

Заменой переменных интегрирования функцию можно представить в виде

Отсюда сразу вытекает, что функция непрерывно дифференцируема на всей плоскости Дифференцируя под знаком интеграла (что теперь допустим ), получим:

или еще

где обозначает область, заключенную между концентрическими окружностями положительная величина.

Применим теперь формулу Остроградского — Грина, преобразующую двойной интеграл в простой. Как легко видеть, эту формулу можно в комплексной форме представить так:

где некоторая конечная область на плоскости, ее граница, снабженная определенным положительным направлением; мы предполагаем, что область и ее граница подчинены тем же условиям, что в основном тексте книги.

В нашем случае эта формула дает

и утверждение доказано.

6. Можно показать, что равенство (2) п. 5 имеет место и в случае, когда функция не будучи дифференцируемой, удовлетворяет условию Гёльдера. Доказательство этого предложения дано в монографии И. Н. Векуа [8], гл. 1, § 8.

Если функция лишь непрерывна, то формула (2) п. 5, вообще говоря, несправедлива, так как в этом случае функция может не иметь частных производных по х и у в обычном смысле. Но можно обобщить понятие частных производных таким образом, чтобы функция оставалась дифференцируемой и в этом случае. А именно, если понимать частные производные в смысле С. Л. Соболева, то в случае, когда функция лишь непрерывна, равенство имеет место почти всюду в Более того, это равенство имеет место почти всюду в если функция лишь интегрируема по Лебегу. Доказательство этих результатов дано И. Н. Векуа [8].

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)