§ 46. Температурные напряжения.

Между рассмотренными выше дислокациями и напряжениями, вызванными в теле неравномерным распределением температуры, существует замечательная связь, к выяснению которой мы сейчас и перейдем. Но прежде всего необходимо ознакомиться с законом, выражающим действие неравномерной температуры на упругое тело. Уравнения теории упругости, которые мы до сих пор применяли, относились к случаю, когда температура одна и та же во всех точках тела.

На основании закона, высказанного Дюамелем (Duhamel) и Нейманом, в случае неравномерного нагрева между компонентами деформации и напряжения существует следующая связь:

Здесь обозначает температуру в данной точке, причем за «нуль» шкалы температур принята тёмпература тела в «естественном» состоянии; обозначает некоторую положительную постоянную, зависящую от свойств вещества тела. Соотношения (1) заменяют в нашем случае обобщенный закон Гука и отличаются от соотношений, выражающих последний только слагаемыми в правых частях первых трех формул (1).

Компоненты напряжения должны, разумеется, удовлетворять тем же уравнениям (1) § 18, так как при выводе этих последних о температуре ничего не предполагалось.

Рассмотрим теперь случай плоской деформации цилиндрического тела, указанный в не зависят от координаты и будем считать, что не зависит от координаты Будем также считать, что объемные силы отсутствуют. Тогда

и

причем определяется равенством

откуда, замечая, в силу формул (3)

получаем:

Предположим, что мы имеем дело с установившимся потоком тепла, так что температура зависит только от х, у, но не от времени. Тогда, как известно,

т. е. есть гармоническая функция переменных х, у. Обозначим через аналитическую функцию комплексного переменного имеющую действительной частью и положим:

Очевидно, будем иметь:

Положим далее:

где две новые функции. Подставляя эти выражения в формулы (3) и принимая во внимание формулы (7), легко убеждаемся, что

где

Итак, мы видим, что функции удовлетворяют хорошо нам известным уравнениям плоской теории упругости, как если бы тело было равномерно нагрето (а именно, если бы причем играют роль смещений.

Таким образом, задача об изучении напряжений в цилиндрическом теле, вызванных установившимся потоком тепла, в случае, когда речь идет о плоской деформации, сводится к обычной задаче (т. е. к задаче при для тела той же формы при той же внешней нагрузке боковой поверхности.

Эту последнюю задачу (т. е. задачу, касающуюся мы будем называть вспомогательной. Весьма замечательно то обстоятельство, что напряжения одинаковы как в исходной, так и во вспомогательной задачах.

Рассмотрим сперва случай односвязного тела. Предположим, что внешняя нагрузка (на боковой поверхности) отсутствует. Тогда, как известно, вспомогательная задача будет иметь только следующее решение (если отбросить не имеющее значения жесткое перемещение):

Значит в односвязном цилиндре установившийся поток тепла (зависящий только от координат х, у) не создает напряжений

Смещения же будут даны формулами, получаемыми из формул (8):

где определяются по температуре формулой (6).

Не надо думать, что напряжения вообще отсутствуют. Действительно, компонента будет, вообще говоря, отлична от нуля и дана формулой (4) (где надо теперь положить

Мы видим, что к основаниям цилиндра должны быть приложены нормальные напряжения, определяемые предыдущей формулой (приложение этих напряжений необходимо для поддержания деформации плоской).

Если мы хотим найти решенке, когда и основания свободны от напряжений, мы можем в случае длинного цилиндра поступить следующим образом (ср. сказанное в § 25).

Напряжения, приложенные, скажем, к «верхнему» основанию, определяемые формулой (11), статически эквивалентны силе, направленной параллельно образующим цилиндра и паре, момент которой параллелен

основанию; за точку приложения силы можно взять, например, центр тяжести его.

Напряжения, приложенные к «нижнему» основанию, приводят к силе и паре, противоположным предыдущим.

На полученное выше решение наложим теперь решение задачи растяжения и изгиба цилиндра силами и парами, обратными предыдущим

Тогда мы получим (приближенное) решение поставленного вопроса. Действительно, напряжения, приложенные к основаниям, будут теперь статически эквивалентны нулю. Значит, в силу принципа Сен-Венана (§ 23) их можно считать вообще отсутствующими (если размеры оснований малы в сравнении с длиной цилиндра). Решение это заметно отличается от точного только вблизи оснований.

Добавим еще, что, как мы увидим в главе VII, при упомянутых растяжении и изгибе компоненты будут равны нулю. Значит, и в окончательном решении будет по-прежнему Только компонента будет отлична от нуля.

В случае, когда размеры оснований не малы по сравнению с высотой, придется искать более точные решения, учитывая не только главные векторы и моменты усилий, приложенных к основаниям, но и фактическое распределение напряжений по основаниям.

Рассмотрим теперь случай многосвязной области вида, рассмотренного в предыдущем параграфе. В этом случае функция действительной частью которой является (однозначная) функция (температура в данной точке), может быть многозначной. Именно, рассуждая совершенно так же, как относительно функции § 35, убеждаемся, что

где действительные постоянные, произвольные постоянные точки внутри контуров Далее:

где некоторые действительные постоянные. При обходе (против часовой стрелки) по контуру, охватывающему контур это выражение испытывает приращение (ср. обозначения предыдущего параграфа):

Будем считать, что рассматриваемое тело не было подвергнуто дислокациям, т. е. что компоненты смещения исходной задачи однозначны.

Тогда на основании формул (8) должно быть

откуда, принимая во внимание формулу (14), получаем:

Эта формула показывает, что смещения «вспомогательной задачи» таковы, как если бы тело, не подвергаясь нагреванию, было подвергнуто дислокации с характеристиками формулы (2) § 45]:

Значит, вспомогательная задача состоит в определении упругого равновесия при равномерной температуре и при заданных характеристиках дислокации.

Если внешние напряжения на боковой поверхности отсутствуют, то напряжения (как во вспомогательной, так и в исходной задачах) таковы, как если бы тело было подвергнуто при отсутствии внешней нагрузки и при равномерной температуре заданной дислокации.

Если боковая поверхность цилиндра загружена произвольным образом, то надо наложить еще решение обыкновенной задачи плоской теории упругости при заданных внешних напряжениях на границе.

Что касается напряжений, приложенных к основаниям, то здесь остается в силе все сказанное относительно случая односвязной области, с той только разницей, что напряжение будет определяться не формулой (11), а общей формулой (4), ибо в нашем случае величина вообще говоря, отлична от нуля.