§ 36. Случай бесконечной области.

С точки зрения приложений представляет большой интерес также рассмотрение бесконечной области. Мы ограничимся пока изучением случая, когда область состоит из всей плоскости из которой удалены конечные части, ограниченные простыми замкнутыми контурами (бесконечная пластинка с отверстиями).

Граница такой области состоит из одного или нескольких простых замкнутых контуров Такая область есть предельный случай области, рассмотренной в предыдущем параграфе, когда контур целиком уходит в бесконечность.

Формулы, выведенные в предыдущем параграфе, разумеется, справедливы для любой конечной части области Остается изучить поведение наших функций в окрестности бесконечно удаленной точки плоскости

Опишем из начала координат, как из центра, окружность радиуса достаточно большого для того, чтобы все контуры находились внутри Для всякой точки z, находящейся вне будем, очевидно, иметь:

и, следовательно,

функция, голоморфная вне Поэтому из формул (10) и предыдущего параграфа получаем:

где

обозначают функции, голоморфные вне за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки

Величины очевидно, представляют собой компоненты главного вектора всех внешних усилий, приложенных к границе области к совокупности контуров

Согласно теореме Лорана функции могут быть представлены вне рядами:

причем эти ряды равномерно сходятся во всякой конечной области, лежащей вне Это — все, что можно сказать о функциях если не введены добавочные условия относительно распределения напряжений в бесконечно удаленных частях плоскости.

Введем теперь следующее условие: компоненты напряжения остаются ограниченными во всей области Посмотрим, каковы должны быть функции и для того, чтобы было соблюдено это условие. По формулам (9) и (10) § 32 имеем:

Внося в первую из этих формул выражение (1) для и заменяя рядом (3), получаем очевидно:

Единственные члены, которые могут неограниченно расти вместе с происходят от ряда

где введено обозначение Отсюда, очевидно, следует, что для того чтобы сумма оставалась ограниченной при стремящемся к должно быть

Считая это условие соблюденным, легко убедиться подобным же образом на основании формулы что для ограниченности выражения

необходимо и достаточно, чтобы оставался ограниченным ряд

откуда следует:

Обратно, если эти условия соблюдены, то, очевидно, будут ограниченными.

Следовательно, будем иметь окончательно:

где

— постоянные вообще комплексные, а функции, голоморфные вне включая бесконечно удаленную точку, т. е. имеющие при достаточно больших разложения вида 2)

На основании сказанного в § 34, не изменяя напряженного состояния, всегда можем считать:

т. е.

и, кроме того,

Действительные постоянные вошедшие в формулы (4) и (5), через посредство , имеют весьма простой физический смысл. Действительно, из формул (а) и (б) следует непосредственно, что при стремящемся к будем иметь:

откуда следует, что стремятся к определенным пределам:

Значит, в бесконечно удаленных частях плоскости мы имеем равномерное распределение напряжений (вернее, распределение, бесконечно мало отличающееся от равномерного). Пусть значения главных

напряжений на бесконечности, угол, который главная ось, соответствующая составляет с осью

Сравнивая формулы (8) с формулами (12) § 8, получаем:

Постоянная С, не влияющая на напряжения, может быть выражена через вращение бесконечно удаленной части плоскости.

Действительно, значение вращения определяется формулой

откуда, хотя бы на основании формул (12) § 30, получаем 2):

Из этой формулы и из формул (4), (7) сразу выводим, что предел при равен

и, значит,

Отметим кстати, что напряженное состояние, характеризуемое линейными функциями

является однородным, напряжения распределены равномерно, т. е. компоненты напряжения (а следовательно, и компоненты деформации) — постоянные величины. А именно, компоненты напряжения выражаются формулами (9), если отбросить значок

Возвращаясь к общему случаю, выясним поведение смещений на бесконечности при принятых нами условиях. Для этого воспользуемся формулой (1) § 32, из которой на основании формул (4) и (5) следует:

где не выписаны величины, остающиеся ограниченными при сколь угодно больших значениях

Отсюда видно, что при принятых нами условиях смещения, вообще говоря, не остаются ограниченными на бесконечности. Чтобы они оставались ограниченными, должны быть, очевидно, соблюдены еще следующие условия:

Первая группа этих условий требует, чтобы главный вектор всех внешних усилий, приложенных к границе области, равнялся нулю, а вторая группа — чтобы напряжения равнялись нулю на бесконечности, и, кроме того, чтобы бесконечно удаленная часть плоскости не испытывала вращения.

Обратим внимание на то, что даже в случае обращения напряжений в нуль на бесконечности и отсутствия вращения смещения все возрастают, как если главный вектор не равен нулю.

Замечание 1. В формулах (4) и (5) функции голоморфны вне любой окружности, охватывающей все контуры

Если имеется лишь один такой контур (плоскость с одним отверстием), то легко видеть, что будут голоморфны во всей области если только начало координат взято вне области (т. е. внутри отверстия). Действительно, в этом случае формулы (10) и (11) предыдущего параграфа совпадают с формулами (1) настоящего параграфа, если в первых взять

вместо написать соответственно Но функции формул предыдущего параграфа, как мы знаем, голоморфны во всей области за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки, а отсюда легко следует наше утверждение.

Замечание 2. Само собою разумеется, что рассмотрение тел, занимающих бесконечную область, является лишь математическим приемом. Этот прием (которым широко и с успехом пользуются на практике) позволяет при надлежащем его применении значительно упростить (приближенное) решение ряда конкретных задач для тел конечных размеров (которые только и мыслимы с физической точки зрения).

Имея в виду, что тело, занимающее бесконечную область, является лишь математической идеализацией, не следует считать, например, парадоксальным то обстоятельство, что смещения не остаются ограниченными на бесконечности, если не соблюдены условия (14). Это обстоятельство указывает лишь, что полученные для бесконечной области формулы следует применять на практике только к той части области, в которой смещения достаточно малы. аналогичное замечание в конце § 57.