§ 76. Некоторые специальные формулы для круга и полуплоскости.

В случае, когда линия окружность или прямая, формулам предыдущего параграфа можно придать специальный вид, удобный для дальнейших применений.

1. Условимся сперва о некоторых обозначениях. Пусть

— некоторая функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области плоскости Тогда через (черта ставится здесь только над символом мы будем обозначать функцию, принимающую сопряженные с значения в точках z, представляющих собой зеркальное отражение точек z в действительной оси, т. е. попросту сопряженных с

Рис. 33.

Таким образом, по определению

или иначе

Например, если полином:

то, очевидно, на основании (2)

т. е. получается из заменой коэффициентов на сопряженные. Точно так же, если рациональная функция:

то

Легко видеть, что если функция голоморфна в некоторой области то функция голоморфна в области представляющей собой зеркальное отражение области в действительной оси (рис. 33). Если функция голоморфна в за исключением некоторых точек, где она иуеет полюсы, то функция будет обладать тем же свойством в

причем ее полюсами будут точки, представляющие собой зеркальное отражение полюсов функции в действительной оси.

Заметим еще, что функцию сопряженную с можно представить так:

это следует из формулы (2) при замене z на

Предположим теперь, что функция определена в одной из полуплоскостей на которые разбивается плоскость z действительной осью, скажем, в области Тогда функция будет определена в области Если, далее, существует граничное значение где некоторая точка действительной оси, то, как это непосредственно следует из формулы (2), существует и граничное значение причем

Очевидно, можно поменять ролями тогда будем иметь аналогично:

2. Пусть у обозначает окружность радиуса 1 с центром в О на плоскости комплексного переменного ; точки на у мы будем обозначать через а, так что

Обозначим соответственно через области и выберем на у за положительное направление то, которое оставляет область слева.

Пусть функция, определенная в области (или Рассмотрим функцию определенную в области (или следующим образом:

или иначе, если вспомнить значение символа

Последняя формула показывает, что функцию можно определить так: функция принимает значения, сопряженные с в точках, являющихся отражениями точек в окружности у (рис. 34).

Легко видеть, что если функция голоморфна в то функция голоморфна в и наоборот.

Например, если функция голоморфна в то, как известно, она представляется рядом

абсолютно сходящимся в т. е. при функция же будет представлена рядом

абсолютно сходящимся в , т. е. при

Предположим теперь, что функция определенная в имеет граничное значение при где точка на у. Тогда, как легко видеть на основании формулы (8), имеет граничное значение и функция определенная в причем

ибо если в формуле стремится к точке на оставаясь в стремится к точке оставаясь в Ясно, что можно поменять ролями тогда, вместо формулы (10), будем иметь:

Рис. 34.

3. Пользуясь тем, что каждой голоморфной в функции соответствует голоморфная в (или в функция мы можем в случае круговой границы несколько видоизменить формулировку предложений I и II § 73, имеющих место в общем случае. А именно, легко доказать следующие предложения:

I. Для того чтобы непрерывная на окружности у функция была граничным значением некоторой функции, голоморфной внутри окружности у, необходимо и достаточно, чтобы

где а — постоянная; эта постоянная равна значению упомянутой голоморфной функции в точке Для того чтобы непрерывная на окружности у функция была граничным значением функции, голоморфной вне у, необходимо и достаточно, чтобы

Условия (12) и (13) являются непосредственными следствиями условий (2) и (1) § 73 и сказанного в настоящем параграфе. Например, если функция должна быть граничным значением некоторой функции голоморфной внутри у, то функция должна быть граничным значением функции голоморфной вне у; это непосредственно следует из формулы (10). Применяя поэтому условие (2) § 73, мы получаем непосредственно условие (12); при этом

Совершенно аналогично доказывается условие (13). Здесь, однако, следует отметить одно обстоятельство: если условие (13) выполнено и требуется фактически найти функцию голоморфную вне у и принимающую на у граничное значение и если для этого мы хотим воспользоваться формулой Коши для бесконечной области (§ 70):

то мы должны знать еще величину Эта последняя, как легко видеть, дается формулой:

Подставляя выражение (15) в формулу (14), можем еще написать:

Выпишем еще следующие формулы, которыми будем в дальнейшем пользоваться. Пусть

— функция, голоморфная внутри у и непрерывная вплоть до у. Тогда

для всех внутри у. В самом деле, есть граничное значение функции голоморфной вне у, кроме точки вблизи которой

она имеет вид

и формула (17) следует непосредственно из формулы (4) § 70.

В частности, при будем иметь для всех внутри у:

Последняя формула есть та же формула (12), записанная несколько иначе.

4. Аналогично предыдущему, пользуясь тем, что каждой функции голоморфной в верхней (или нижней) полуплоскости соответствует функция голоморфная в нижней (или верхней) полуплоскости из условий (7), (6) § 73 непосредственно выводим следующие предложения.

Пусть обозначает, как в § 73, функцию, заданную на действительной оси непрерывную на и такую, что при больших

Тогда будем иметь следующее:

III. Для того чтобы функция была граничным значением функции, голоморфной в необходимо и достаточно условие

IV. Для того чтобы была граничным значением функции, голоморфной в необходимо и достаточно условие