§ 17. Случай изотропного тела.

Как известно, тело называется изотропным, если свойства его по всем направлениям одинаковы. Точнее,

если вырезать из изотропного тела объемный элемент определенной формы (например, кубик), то этот элемент будет не отличим от всякого другого элемента той же формы (вырезанного в том же месте тела), но ориентированного иначе, чем первый. Например, дерево не есть изотропное тело, так как брусок, вырезанный в продольном направлении (по волокнам), резко отличается, хотя бы в смысле сопротивления разрыву, от бруска, вырезанного в поперечном направлении. Неизотропными являются и все кристаллические тела. В природе нет идеально изотропных тел, но есть много важных в техническом отношении материалов, которые с известным приближением можно считать изотропными.

Многие такие материалы (например, металлы) состоят из мелких неизотропных частиц (кристалликов), беспорядочно расположенных друг относительно друга, и эта беспорядочность создает то, что не слишком малые тела из этих материалов ведут себя в среднем, как изотропные.

Тело называется не только изотропным, но и однородным, если свойства элементов объема, вырезанных в различных местах тела, одни и те же.

Надо еще отметить, что тело, изотропное или однородное относительно одних свойств, может быть неизотропным или неоднородным относительно других.

В дальнейшем мы будем рассматривать только изотропные и однородные тела, понимая под этим однородность и изотропность в смысле упругих свойств.

Математически это обстоятельство выразится, очевидно, следующим образом: коэффициенты в формулах (1) § 16 не должны зависеть от ориентации осей координат относительно тела и от положения рассматриваемой точки тела. Благодаря этому свойству упомянутые формулы принимают очень простой вид, как это будет сейчас показано.

Легко прежде всего показать, что в каждой точке изотропного тела главные оси деформации совпадают с главными осями напряжений.

Действительно, примем временно главные оси деформации в данной точке за оси координат. Тогда будем иметь:

На основании обобщенного закона Гука будем иметь в частности:

где постоянные. Введем теперь новую координатную систему получаемую из старой путем простого поворота вокруг оси Oz на 180°. Ось Oz новой системы будет совпадать с а оси примут направления, прямо противоположные осям Так как коэффициенты не должны зависеть от выбора осей, будем иметь в новой системе:

Но очевидно:

Сопоставляя формулу видим, что должно быть:

откуда следует:

Значит, Так же точно докажем, что . А это значит, что координатные оси суть главные оси напряжений. Таким образом, наше утверждение доказано.

Итак, в дальнейшем будет излишним различать главные оси напряжений и деформации: те и другие мы будем просто называть главными, осями.

Будем продолжать считать, что за оси координат приняты главные оси. На основании обобщенного закона Гука можем, в частности, написать

где — постоянные.

Пусть оси новой системы координат, полученные из старых путем поворота на 90° вокруг оси . В новой системе мы должны иметь снова

Но очевидно, что в нашем случае

откуда

Сравнивая эту формулу с предыдущей, видим, что должно быть: Итак, имеем:

Введем, наконец, обозначения:

Тогда предыдущая формула запишется так:

где введено обозначение

Ввиду изотропии из формулы для мы можем получить формулы для простой заменой всюду буквы х на у или на Следовательно, будем окончательно иметь:

Здесь мы ввели обозначения для главных напряжений и для главных удлинений. Выбранные оси координат мы теперь будем обозначать через Не забудем, что они по условию главные оси.

Чтобы теперь найти формулы, связывающие компоненты напряжения с компонентами деформации в любой системе координат достаточно выразить по известным формулам перехода от одной системы осей к другой величины через Тогда мы получим, при помощи формул (в) выражения для через Выражая, наконец, через найдем требуемые формулы. Фактическое выполнение этого потребовало бы довольно громоздких выкладок, которых легко избежать при помощи следующего простого приема.

Совокупность формул (в) можно заменить одной-единственной, которую получим, умножив равенства (в) соответственно на где обозначают компоненты некоторого произвольного вектора относительно осей и сложив, что дает:

Сделаем теперь переход от осей к осям Мы знаем, что при этом квадратичная форма обратится в квадратичную форму (см. § 5)

а квадратичная форма в форму (см. § 13)

Здесь обозначают компоненты вектора относительно осей Далее, очевидно,

Что касается величины

то ее значение, выраженное через компоненты относительно новых осей, будет:

(см. конец § 14). Следовательно, в новой системе координат равенство перепишется так:

Но так как предыдущее равенство справедливо для компонент любого вектора т. е. при всяких значениях величин то коэффициенты при должны быть равны между собой, и следовательно,

где

представляет собой относительное объемное расширение.

Формулы (1) и дают искомую зависимость между компонентами напряжения и деформации в изотропном теле. Величины представляют собой постоянные, характеризующие упругие свойства данного тела. Обозначения эти были введены Ламе (G. Lame, 1795-1870); поэтому называются постоянными Ламе. Для каждого данного материала они должны быть определены экспериментально.

По условию, высказанному в формулировке обобщенного закона Гука, уравнения (1) должны быть разрешимы относительно компонент деформации Посмотрим, каким условиям должны удовлетворять чтобы упомянутое условие было соблюдено. Для этого попытаемся фактически решить уравнение (1) относительно компонент деформации. Складывая три первых уравнения (1), получаем:

Это уравнение будет разрешимо относительно только в том случае, если Далее, для разрешимости трех последних уравнений (1) относительно должно быть

Мы должны предполагать, что указанные условия выполнены. Внося значение взятое из (3), в уравнения (1), получаем формулы:

выражающие компоненты деформации через компоненты напряжения.