§ 26. Деформация тонкой пластинки силами, действующими в ее плоскости.

Уравнения плоской теории упругости применяются и в другом, важном для практики, случае, именно в случае тонкой пластинки при определенных видах нагрузки.

Рис. 12.

Под пластинкой мы подразумеваем цилиндр весьма малой высоты, которую мы обозначим через и будем называть толщиной. Примем среднюю плоскость пластинки (т. е. плоскость, параллельную основаниям и находящуюся по середине высоты) за плоскость Оху (рис. 12).

Будем считать основания свободными от внешних напряжений и предположим, что внешние напряжения, приложенные к боковой поверхности, параллельны основаниям и распределены симметрично относительно средней плоскости. То же будем предполагать относительно объемных сил. С практической точки зрения достаточно предположить относительно внешних напряжений, действующих на боковую поверхность, что совокупность этих напряжений, приложенных к любому элементу боковой

поверхности, заключенному между двумя образующими, статически эквивалентна силе, приложенной на середине высоты элемента и расположенной в средней плоскости; в самом деле, на основании принципа Сен-Венана (§ 23) каждую такую совокупность можно заменить статически ей эквивалентной совокупностью, удовлетворяющей поставленным вначале условиям.

По соображениям симметрии очевидно, что точки средней плоскости после деформации останутся на ней, что компонента смещения будет весьма мала и что изменения компонент по толщине пластинки будут незначительны. Поэтому ясно, что возможно получить вполне достаточное представление об упругом равновесии пластинки, рассматривая не сами величины а их средние значения по толщине; эти средние значения, которые мы обозначим через определяются равенствами:

По условию, функции обращаются в нуль на основаниях, т. е. при (так как, по условию, основания свободны от внешних напряжений). Поэтому из уравнения

следует, что

при Действительно, из условия следует:

аналогично

Итак, величина не только сама обращается в нуль при но обращается в нуль при этих значениях и ее производная по Поэтому очевидно, что будет весьма малой величиной по всей толщине пластинки, и мы с большим приближением можем считать, что всюду.

Напишем теперь уравнения:

и возьмем средние значения (по толщине) обеих частей каждого из них, т. е. проинтегрируем по z от до и разделим на Имеем:

Следовательно, из предыдущих уравнений получим (звездочкой, как выше, обозначается среднее значение соответствующей величины, взятое по толщине):

Далее, из соотношения

следует:

Внося это значение в уравнения

получаем:

Переходя в этих уравнениях, а также в уравнении

к средним значениям, получаем, наконец:

где введены обозначения:

Сравнивая уравнения (1) и (2) настоящего параграфа с уравнениями (1) и (2) предыдущего, убеждаемся, что средние значения компонент смещения и компонент напряжения удовлетворяют точно таким же уравнениям, что и в случае плоской деформации, с той только разницей, что, вместо постоянной Ламе X, надо взять постоянную, определяемую формулой (3).

Напряженное состояние пластинки, при котором повсюду, обращаются в нуль на основаниях, мы, следуя Ляву будем называть «обобщенным плоским напряженным состоянием». Такое состояние было впервые рассмотрено Файлоном, который и установил

приведенные выше уравнения для средних значений. Эти уравнения, разумеется, пригодны и для пластинок конечной толщины. Мы видели, что если толщина пластинки мала, то при соблюдении указанных вначале условий напряженное состояние ее может считаться с большим приближением обобщенным плоским состоянием.

Пусть линейный элемент на плоскости Рассмотрим принадлежащую пластинке, перпендикулярную к плоскости Оху прямоугольную площадку высоты след которой на плоскости Оху есть элемент (рис. 12). Проекции на оси среднего значения напряжения (по толщине), действующего на эту площадку, равны

где

а обозначает положительную нормаль к площадке. Проекции же усилия, действующего на эту площадку, равны Величины мы можем назвать проекциями среднего значения усилия, рассчитанного на единицу высоты (толщины) пластинки, действующего со стороны нормали к элементу