§ 116. Продолжение.

Изучим несколько более подробно решение, полученное в предыдущем параграфе. Для упрощения изложения рассмотрим случай одного штампа, соприкасающегося с осью Ох вдоль одного сплошного отрезка общий случай может быть рассмотрен совершенно аналогично.

1. В нашем случае мы будем иметь, вместо формул (6) и (11) § 115, соответственно:

и

где действительная постоянная. В эти формулы мы ввели (см. замечание 2 в конце § 110), вместо функцию вследствие чего выражение для представляется в действительной форме. Под при мы можем подразумевать положительную величину, а под ветвь, голоморфную на разрезанной вдоль плоскости, принимающую положительные значения на верхней стороне Эта ветвь, как легко видеть (см. замечание 2 в конце § 110), характеризуется тем, что при больших

Постоянная легко определяется из условия

где заданная величина силы, прижимающей штамп, и где под следует подразумевать выражение, даваемое формулой (2). Еще проще определить замечая, что из формул (1) и (3) следует при больших

откуда, сравнивая с формулой (4) § 112, получаем:

Для того, чтобы полученное решение было физически возможным, очевидно, должно быть (при Таким образом, после того, как решение получено, следует проверить, соблюдено ли это условие.

Рис. 53.

При решении задачи мы предполагали, что участок соприкасания штампа с упругой полуплоскостью задан заранее. Это соответствует, например, случаю, когда штамп имеет форму, указанную на рис. 53, и когда сила, прижимающая штамп, достаточно велика для того, чтобы углы штампа вступили в соприкасание с упругим телом. Наличие углов и объясняет возникновение бесконечно больших напряжений в точках упругого тела, совпадающих с углами штампа.

2. Представляет значительный интерес и тот случай, когда жесткий профиль, прижимаемый к упругой полуплоскости, не имеет углов (например, случай прижимания жесткого кругового диска) или когда прижимающая сила не достаточно велика для того, чтобы углы вступили в соприкасание с упругим телом, как на рис. 54.

Рис. 54.

В этом случае концы участка соприкасания не известны заранее. Однако полученные формулы позволяют решить задачу и в этом случае. В самом деле, формула (2) для давления под штампом содержит теперь две не известные заранее постоянные a, b. Для определения этих постоянных мы имеем тоже два соотношения:

выражающие условие, что давление непрерывно переходит в нуль, когда точка выходит за участок соприкасания. Это условие можно заменить более общим (и вместе с тем физически еще более очевидным)

условием, что давление остается ограниченным вблизи точек если эти точки не являются угловыми точками профиля штампа.

Действительно, мы увидим, что условие ограниченности давления вблизи точек влечет за собой и соотношения (6).

Для того, чтобы выразить условие ограниченности в окрестностях точек введем временно обозначение

и перепишем формулу (2) так:

или, замечая, что

еще так

где положено:

Первый член в правой части формулы (а) не только ограничен вблизи точек но и обращается в нуль в этих точках Следовательно, для ограниченности вблизи точек необходимо и достаточно, чтобы или, принимая во внимание формулу (5),

При соблюдении этих условий формула (а) дает:

как было сказано, это выражение обращается в при

Заметим еще, что, преобразовав формулу (1) совершенно аналогично тому, как мы преобразовали формулу (2), легко убедиться, что при соблюдении условий (7)

Добавим, что формулу (9), а также условия (7), мы могли бы получить, разыскивая с самого начала решение (для нашего частного случая граничной задачи (5) предыдущего параграфа, остающееся ограниченным вблизи концов, и применяя соответствующие формулы § 110.

Итак, для определения мы имеем два соотношения (7), которые, вообще говоря, их однозначно определяют, если учесть также условие, что под штампом (см. ниже примеры).

Мы рассмотрели случай, когда штамп может перемещаться лишь поступательно. Случай, когда он может наклоняться, рассматривается совершенно аналогично (см. ниже примеры).