§ 98. Интегральные уравнения, предложенные автором.

Интегральные уравнения, приведенные в § 79, хотя и вполне пригодны для общих исследований и дают эффективные, практически применимые результаты в ряде важных частных случаев, о которых говорилось выше, все же обладают одним существенным недостатком: уже для их составления требуется найти отображающую функцию Аналогичным недостатком обладают и уравнения С. Г. Михлина (§ 96), так как для их составления требуется нахождение комплексной функции Грина

Между тем интегральные уравнения давно перестали быть лишь средством для общих теоретических исследований: за последнее время разработаны довольно эффективные методы численного их решения, в особенности для случая, когда они содержат лишь простые (а не кратные) интегралы, как это имеет место в интересующем нас случае. Поэтому весьма важно иметь такие интегральные уравнения, ядра которых непосредственно и просто связаны с элементами линий, составляющих границу области, и не содержат элементов, определение которых требует предварительного решения вспомогательных граничных задач, вроде задачи Дирихле (или ей эквивалентной), что требуется для нахождения функций или

К числу таких уравнений принадлежат уравнения Лауричелла — Шермана, которые будут подробно рассмотрены в § 101, 102; эти уравнения, как мне кажется, являются наиболее простыми и наиболее соответствующими цели общих исследований из всех мне известных.

Однако я позволю себе сказать здесь несколько слов об уравнениях, полученных в свое время мною [17, 18], так как ход идей, приведший к этим уравнениям, тесно связан с тем, который привел к результатам предшествующих отделов настоящей главы, и так как они, по-видимому, представляют и теперь некоторый самостоятельный интерес. Кроме того, уравнения эти были предметом ряда исследований других авторов (в первую очередь Д. И. Шермана), которые заслуживают упоминания, так как разработанные ими методы исследования могут быть с успехом перенесены на решение других аналогичных задач.

Переходя к выводу упомянутых уравнений, начнем для большей ясности со случая конечной области ограниченной одним простым

замкнутым гладким контуром положительным направлением на мы будем, как обычно, считать то, которое оставляет область слева.

Мы будем рассматривать одновременно первую и «торую основные задачи. Граничные условия для обеих этих задач можно записать так:

где при обозначениях § 41, в случае первой основной задачи

а в случае второй основной задачи

под следует, конечно, подразумевать соответствующие граничные значения, существование которых, таким образом, предполагается, т. е. искомое решение предполагается регулярным; к правой части (2) можно прибавить любую, раз навсегда зафиксированную, постоянную. Выразим теперь, что правая часть равенства

эквивалентного граничному условию (1), должна представлять собой граничное значение некоторой функции голоморфной в

Мы знаем, что необходимым и достаточным условием для этого является равенство (см. § 73)

для всех z, расположенных вне или

где для краткости через обозначена заданная функция

Мы получили, таким образом, функциональное уравнение для определения Если нам тем или иным путем удастся найти функцию голоморфную в 5 и удовлетворяющую уравнению (5), задача будет решена, так как функция определится из условия (4) формулой Коши:

(здесь, конечно, z принадлежит области

Функциональное уравнение (5) можно легко привести к уравнению Фредгольма следующим образом. Пусть в стремится к некоторой точке контура - L (оставаясь, разумеется, вне Тогда на основании формул Сохоцкого — Племеля (см. § 68) получаем, предполагая, что удовлетворяют условию на

где для краткости через обозначено граничное значение функции при извне т. е.

через обозначены действительные функции, которые следует считать заданными.

Уравнение которое не есть, конечно, уравнение Фредгольма, можно упростить следующим образом. Выражая, что должны быть граничными значениями функций, голоморфных в получаем по формуле (1) § 73:

переходя к сопряженным значениям, первое из этих условий можно записать еще так:

Умножая равенства (б) и (в) соответственно на и на к и складывая с уравнением получаем:

и, наконец, преобразуя второй интеграл левой части интегрированием по частям,

Это и есть интегральное уравнение, которое упоминалось выше и которое мы намеревались вывести.

Его можно переписать еще иначе, а именно: полагая

где угол, составляемый вектором с осью отсчитываемый в положительном направлении, будем иметь:

внося эти значения в уравнение (9), получаем:

Предыдущее уравнение можно переписать и в виде системы двух действительных уравнений, если положить:

действительные функции, и разделить в уравнении (9) действительные и мнимые части:

В этих уравнениях

где дуга контура, соответствующая точке Легко видеть, что имеет место равенство

угол, заключенный между внешней нормалью в точке контура и вектором

Если предположить, что угол, составляемый нормалью (или касательной) к в точке с некоторым фиксированным направлением (рассматриваемый как функция от или от удовлетворяет условию то, как не трудно убедиться,

где постоянная, а непрерывная на функция (и даже удовлетворяющая условию

Поэтому система представляет собой обычную систему уравнений Фредгольма. В соответствии с этим мы можем называть уравнение (9) или (9), эквивалентное системе уравнением Фредгольма.

Хотя исследование полученных интегральных уравнений в случае односвязной области не представляет никаких затруднений мы на нем не останавливаемся и ограничимся указанием следующих результатов.

Прежде всего заметим, что, как легко видеть, в силу принятых нами условий всякое (непрерывное) решение уравнения (9) будет удовлетворять условию всюду на Но нам требуется найти решение такое, чтобы и производная удовлетворяла на этому условию. Выполнение последнего требования будет, как не трудно проверить, обеспечено, если предположить, что линия имеет в каждой точке кривизну, удовлетворяющую условию и что заданная на функция имеет производную по удовлетворяющую условию что мы и будем предполагать.

Рассмотрим сперва первую основную задачу. В этом случае дается формулой (2). Так как по принятому нами предположению функция непрерывна на то условие равенства нулю главного вектора внешних усилий удовлетворено само собой; условие же равенства нулю главного момента выражается равенством (§ 41)

Легко предвидеть заранее, что однородная система, получаемая из уравнения при имеет решение, даваемое формулой

где действительные постоянные; это следует из того, что (см. § 34), не изменяя напряженного состояния и правой части формулы (1), к можно прибавить выражение вида В том, что даваемые формулой (13), удовлетворяют системе легко убедиться и непосредственно.

Формула (13) содержит линейно три произвольных действительных постоянных и дает три линейно независимых решения однородной системы; можно показать, что других линейно независимых решений

однородная система не имеет. Поэтому, как это следует из общей теории уравнений Фредгольма, для разрешимости системы правые ее части должны удовлетворять трем условиям хорошо известного вида. Однако ближайшее исследование показывает, что два из этих условий удовлетворяются сами собой вследствие того, что функции не произвольные, а таковы, что представляет собой граничное значение функции, голоморфной вне и исчезающей на бесконечности, а третье условие сводится, как и следовало ожидать, к условию (12).

Итак, при соблюдении условия (12) система или, что все равно, уравнение (9) имеет решение, определенное, разумеется, с точностью до выражения (13). Можно, кроме того, показать (это не очевидно заранее), что всякое решение уравнения (9) будет граничным значением функции, голоморфной в эта функция определится по формулой Коши, после чего определится и функция формулой (7). Таким образом, мы получим решение первой основной граничной задачи.

В случае второй основной задачи, когда дается формулой (3), мы имеем совершенно аналогичные результаты; разница лишь в том, что однородная система, соответствующая системе имеет лишь два линейно независимых решения, даваемых формулой

где произвольные действительные постоянные. Система несмотря на наличие решений соответствующей однородной системы, всегда разрешима (это есть следствие специального вида правой части), и ее решение дает решение исходной задачи, как в предыдущем случае.

До сих пор мы предполагали область конечной и односвязной. Предположим теперь, что область ограничена несколькими простыми замкнутыми контурами из которых последний заключает внутри себя все остальные, как в § 35 (рис. 16); контур может отсутствовать, и тогда область будет бесконечной (бесконечная плоскость с отверстиями); мы будем считать, что отдельные контуры удовлетворяют в смысле гладкости условиям, указанным выше. Через мы будем, как всегда, обозначать полную границу области положительным направлением на мы будем считать то, которое оставляет область слева.

Разница со случаем конечной односвязной области здесь лишь та, что искомые функции могут быть (и, вообще говоря, будут) многозначными. А именно, согласно формулам (10), (11) § 35:

где главный вектор внешних усилий, приложенных к контуру произвольно фиксированные точки, расположенные соответственно внутри контуров функции, голоморфные в если область эта конечна (т. е. контур имеется налицо). Если же область бесконечна (т. е. контур отсутствует), то-(см. § 36)

где функции, голоморфные в включая бесконечно удаленную точку. Как в случае первой, так и в случае второй основной задачи мы считаем (§ 40), что постоянные заданы заранее; кроме того, в случае второй основной задачи для бесконечной области мы будем считать, что дополнительно заданы величины:

т. е. главный вектор внешних усилий, приложенных ко всей границе области

В дальнейшем ради краткости мы будем предполагать, что область. конечна, т. е. контур имеется налицо; случай бесконечной области) рассматривается совершенно аналогично.

Начнем с рассмотрения первой основной задачи. В этом случае граничное условие запишется так (как и в случае односвязной области):

где на этот раз, вместо формулы (2), будем иметь:

причем дуга отсчитывается (в положительном направлении) на каждом из контуров от произвольно зафиксированной точки этого контура, а постоянные, имеющие, вообще говоря, различные значения на различных контурах эти постоянные не задаются заранее, кроме одной, например которую можно зафиксировать произвольно; мы будем предполагать, что

Если подставим в равенство (17) выражения (15), то легко получим:

где

Теперь в граничном условии (19) слева фигурируют граничные значения голоморфных (т. е. однозначных аналитических) функций, а справа также однозначная непрерывная функция (разумеется, при условии выбора определенных ветвей на каждом контуре ибо при обходе в положительном направлении (оставляющем S слева) контура функция получает приращение а второй член правой части (20) — такое же приращение, но с обратным знаком; аналогично для контура при условии, которое мы подразумеваем, что главный вектор всех внешних усилий, приложенных к равен нулю.

Так как в первой основной задаче величины известны заранее, то функция в граничном условии (19) определена на каждом из контуров

Применяя к граничному условию (19) те же рассуждения, что в случае одного контура, мы получаем точно такое же уравнение (9) при или эквивалентное ему уравнение (9), только в качестве неизвестной вместо мы будем иметь теперь а в правой части вместо будет фигурировать Кроме того, на этот раз в правых частях будут присутствовать не известные заранее постоянные которые должны получить определенные значения в процессе решения задачи.

В случае второй основной задачи, поступая совершенно аналогично, мы получим при прежних обозначениях граничное условие

где на этот раз

Таким образом, мы получим точно такое же уравнение (9) при что и в случае одного контура, если в этом уравнении вместо подразумевать а вместо выражение Только теперь в правых частях фигурируют не известные заранее постоянные которые должны быть определены вместе с функцией

Можно показать, что и в рассматриваемом случае многосвязной области приведенные выше интегральные уравнения дают возможность решить до конца соответствующие граничные задачи.

Предварительное исследование этих интегральных уравнений было дано в цитированных уже заметках автора [17, 18], в которых для определенности была рассмотрена первая основная задача; исследование было проведено в предположении, что теоремы существования для многосвязных областей уже доказаны каким-либо иным путем.

Вскоре Д. И. Шерман [2, 3, 6, 11] дал весьма полное исследование этих уравнений, не опираясь ни на какие другие доказательства теорем существования, а, наоборот, доказав их непосредственно при помощи самих рассматриваемых уравнений.

Д. И. Шерману принадлежат также различные видоизменения этих уравнений, более удобные для исследований общего характера и для приложений. В частности, в работе [11] подробно исследован вопрос распределения характеристических чисел интегральных уравнений, получаемых определенным видоизменением уравнений, приведенных выше, и введением некоторого параметра X, как это делается в общей теории уравнений Фредгольма. Это исследование показывает, что для значений X, отвечающих первой и второй основным задачам, решения соответствующих интегральных уравнений могут быть разложены в ряды Неймана, иначе говоря, могут быть получены методом последовательных приближений.

При помощи изложенного в настоящем параграфе метода Д. И. Шерман [6] решил также один частный случай основной смешанной задачи, когда на одних замкнутых контурах, ограничивающих область, заданы внешние напряжения, а на других — смещения.

Далее, методом, аналогичным предыдущему, Д. И. Шерман [8] дал решение первой и второй задач для тел, составленных определенным образом из различных однородных частей; как было сказано в § 96, та же задача была решена несколько раньше С. Г. Михлиным иным путем.

О дальнейших работах Д. И. Шермана, содержащих иное решение рассмотрейных выше граничных задач, а также решение некоторых других граничных задач при помощи обобщения указанного в настоящем параграфе метода и иных методов, будет еще сказано ниже.

Упомянем еще одну интересную задачу, решенную Г. Н. Савиным [7] при помощи метода, аналогичного изложенному в настоящем параграфе, которая заключается в определении равновесия упругой плоскости с бесконечным рядом одинаковых, периодически расположенных вырезов, подверженных одинаковым внешним усилиям. Изложение решения можно найти также в книге С. Г. Михлина [13].