IV. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОТОБРАЖАЕМЫХ НА КРУГ ПРИ ПОМОЩИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ

Методы решения граничных задач, изложенные в предыдущих отделах, легко распространяются на случай областей, отображаемых на круг при помощи рациональных функций. Мы видели в предыдущей главе, что первая и вторая основные задачи для таких областей легко решаются в замкнутом виде.

Новый способ, излагаемый ниже, приводит к тому же результату, и для получения решения приходится в конечном счете производить примерно такие же выкладки, что и по способу, указанному в предыдущей главе.

Однако способ, излагаемый здесь, позволяет также весьма просто решить и основную смешанную задачу, а также некоторые другие граничные задачи.

§ 125. Преобразование основных формул.

Пусть конечная или бесконечная область на плоскости z, ограниченная одним простым гладким замкнутым контуром и пусть

— соотношение, отображающее на круг плоскости окружность этого круга мы обозначим через у и в качестве положительного направления на ней выберем направление, обратное движению часовой стрелки.

Функция голоморфна внутри если область конечна; если область бесконечна, то функция голоморфна всюду внутри кроме одной лишь точки (соответствующей точке где она имеет простой полюс. Не нарушая общности, можно считать, что эта точка расположена в центре у, т. е. в точке при этом предположении, которое мы примем,

где функция голоморфна внутри у, а с — постоянная, отличная от нуля.

Напомним формулы, выражающие компоненты напряжения и смещения в соответствующих криволинейных координатах, через функции комплексной переменной (§ 50):

где функции, связанные с соотношениями:

Вместо формулы (4) в большинстве случаев удобнее пользоваться формулой, выражающей компоненты смещения в декартовых координатах:

Если непосредственно заданы функции то функции вполне определены; если же непосредственно заданы функции то функции определяются с точностью до произвольных постоянных.

Поэтому в последнем случае формулу (6) можно записать так:

выделив явно произвольную постоянную.

Будем теперь считать, что со рациональная функция, и распространим определение функции на область положив

Из предыдущей формулы легко выводим, заменив на и перейдя к сопряженным значениям:

Последняя формула выражает значения для (для других значений эта функция нами не определяется) через значения как для так и для

Мы можем также распространить определение функции на область поставив условие, чтобы и в этой области имело место соотношение

интегрируя обе части формулы (7) по легко получаем, отбрасывая произвольную постоянную:

откуда, аналогично предыдущему, выводим:

Таким образом, мы можем выразить компоненты напряжения и смещения через одну функцию определенную как при так и при

Выражение (2) для остается тем же, а выражение (3) для можно, как легко видеть, представить следующим образом:

где теперь под следует подразумевать выражение, определяемое формулой (8).

Для компонент смещения будем иметь, заменяя в формуле (6) выражением (8):

Напишем здесь же аналогичную формулу:

вытекающую из формулы (4) § 50.

В дальнейшем нам понадобится также выражение для и где

Это выражение мы найдем, продифференцировав по обе части формулы (6), а затем преобразовав полученное выражение подобно тому, как мы преобразовали правую часть формулы (3). Таким образом, легко получим:

При наших обычных условиях функции голоморфны внутри Нам следует теперь выяснить поведение функции распространенной формулой (7) на область в этой последней области, т. е. вне у; при этом нам достаточно будет изучить поведение произведения

Обратимся для этого к формуле (7), определяющей функцию при Рациональная функция может иметь полюсы в конечном числе точек; все эти точки расположены вне у кроме случая, когда

область бесконечна и когда, следовательно, со имеет полюс первого порядка при

Обозначим через полюсы функции расположенные вне не считая точки которая также может быть полюсом. Если порядки этих полюсов, то в тех же точках функция будет иметь полюсы порядков далее, если порядок полюса функции на бесконечности, то будет иметь на бесконечности полюс порядка

Таким образом, функция будет иметь полюсы порядков не выше в точках полюсы происходят от первых двух слагаемых правой части формулы (7), ибо, как легко видеть, третье слагаемое представляет собой голоморфную вне функцию, включая бесконечно удаленную точку. Кроме того, точка может быть полюсом порядка не выше

Заметим еще, что в случае бесконечной области функция может иметь внутри а именно в точке полюс не выше второго порядка.

Таким образом, нам заранее известны все возможные полюсы функции и максимальные их порядки.

Заметим, наконец, что данной функции определенной как внутри, так и вне и имеющей полюсы указанного типа, не всегда соответствует функция голоморфная, как это требуется нашими условиями, внутри А именно, формула (8) показывает, что функция соответствующая данной функции может иметь полюсы в точках

а также в точке расположенных внутри

Условия голоморфности функции вблизи указанных точек дают нам известное (конечное) число линейных соотношений, связывающих некоторое (конечное) число первых коэффициентов разложений

функции вблизи точек

с коэффициентами главных частей полюсов функции в точках а также известное число аналогичных линейных соотношений, соответствующих точке

Этих соотношений мы выписывать не будем, а обозначим их кратко через

Их всегда легко составить для каждой конкретной области, т. е. для каждой конкретной функции

Особенно просто составляются эти условия в случае, если есть полином:

когда область конечна, или

когда область бесконечна. В этом случае функция может иметь полюсы лишь в точках последней лишь тогда, когда область бесконечна).

Заметим еще, что в случае, когда область бесконечна, будем иметь в окрестности точки формулы (14) и (15) § 50]:

где с — постоянная, фигурирующая в формуле (1), и при наших обычных обозначениях:

обозначают, как всегда, компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных к границе

В дальнейшем мы будем считать, что функция определенная при и при непрерывно продолжима на все точки о окружности у как слева, так и справа, за исключением, быть может, конечного числа точек вблизи которых

мы будем считать, кроме того, что для всех точек окружности у» кроме, быть может, тех же точек

тогда на основании формулы (8) будем иметь также, при тех же возможных исключениях:

Наличие точек мы будем всегда явно оговаривать; отсутствие оговорки будет означать, что таких точек нет.

Замечание 1. Легко видеть на основании формул (21) и (22), что при о два последних слагаемых в правых частях формул (10) и (13) стремятся к нулю, за исключением, быть может, значений

Замечание 2. Иногда, в случае бесконечной области удобнее пользоваться отображением на область а не на круг но в этом нет ничего принципиального. Читатель легко выяснит сам те видоизменения некоторых предыдущих формул, которые при этом произойдут.