§ 83. Решение второй основной задачи для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием.

В этом случае граничное условие имеет вид

или

где заданные компоненты смещения точек контура эллипса.

Предполагая сначала, что смещения остаются ограниченными на бесконечности (а это значит, что получаем совершенно тем же путем, что в § 82:

Если оставить значение произвольным, то граничное условие будет удовлетворено с точностью до постоянного слагаемого. Для определения умножим обе части равенства (2) на и проинтегрируем по у.

Тогда, как легко видеть, получим:

и наша задача решена для случая, когда мы требуем, чтобы смещения оставались ограниченными на бесконечности.

В общем случае будем иметь, считая, как в § 82, что т. е. что вращение на бесконечности равно нулю:

Подставляя эти выражения в формулу (1), увидим, что удовлетворяют тому же граничному условию, что и с той разницей, что вместо надо взять теперь

или еще

получим значения заменив в формулах (3) и через через Таким образом, после элементарных выкладок (ср. § 82а, пример 1) получаем:

где определяется по формуле, вытекающей после элементарных выкладок из формул (5) и (9):

Легко видеть, что полученное решение будет регулярным, если заданная на контуре функция имеет производную, удовлетворяющую условию

В предельном случае мы получаем решение второй основной задачи для бесконечной плоскости с прямолинейной щелью.