IV. РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ В СЛУЧАЕ РАЗЛИЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУАССОНА

В общем случае, когда коэффициенты Пуассона различных материалов также могут быть различными, задачи растяжения и изгиба значительно усложняются. Именно, оказывается, что здесь уже нельзя, как в случае Сен-Венана и как в случае одинаковых коэффициентов Пуассона, принять

Вследствие этого приходится привлечь к рассмотрению одну вспомогательную задачу о плоской деформации, которой мы и займемся.

§ 145. Одна вспомогательная задача о плоской деформации.

Вспомогательная задача, о которой только что говорилось, состоит в следующем. Требуется найти упругое равновесие бруса, составленного из различных материалов так, как это было описано выше (в начале § 139), в предположении, что он подвержен плоской деформации, параллельной плоскости Оху (т. е. что зависят лишь от х, у, но не от при следующих условиях:

1°. Внешние напряжения, приложенные к боковой поверхности бруса, равны нулю:

где, как всегда,

обозначает нормаль к боковой поверхности.

2°. На поверхностях раздела различных материалов:

где обозначает нормаль к (цилиндрической) поверхности раздела, направленную в определенную сторону, а значки к указывают, что берутся значения для материалов, занимающих области с номерами примыкающие к поверхности раздела. Условия (2) выражают, что напряжения, приложенные к элементам поверхности раздела с той и другой стороны, уравновешивают друг друга.

3°. На поверхностях раздела смещения претерпевают заданные разрывы, т. е.

где значения смещений с той и другой стороны поверхности раздела, заданные на ней функции (не зависящие от

Так как речь идет о плоской деформации и все рассматриваемые функции не зависят от z, то мы можем ограничиться рассмотрением одного какого-либо поперечного сечения бруса, как мы делали в предыдущих главах.

Легко показать обычным путем, что если существует решение поставленной задачи, то оно будет единственным (с точностью до жесткого перемещения тела как целого). То, что решение всегда существует, можно считать физически очевидным. Действительно, наша задача соответствует следующей физической задаче, которую краткости ради мы сформулируем для случая, когда имеем только две составные части с поперечными сечениями разделенными линией Возьмем два бруса, состоящих из тех же материалов, что и данные, но имеющих сечения отличные от Именно, будем считать, что сечение получается из путем сообщения точкам линии смещений а сечение из сечения путем сообщения точкам той же линии смещений при этом будем считать, что

Если теперь вынудить соответствующие боковые поверхности наших брусьев, с сечениями придти в соприкосновение так, чтобы соприкоснулись соответствующие точки, и спаять вдоль этих поверхностей, поддерживая деформацию плоской, то в полученном составном брусе

возникнут напряжения и деформации, как раз соответствующие нашей задаче.

Существование решения (при некоторых обычных предположениях общего характера) можно также доказать математически. Это сделано в упомянутой уже в главе V (§ 103) работе Д. И. Шермана [20], который рассматривает случай, названный нами основным (§ 139, п. 1). На доказательстве мы здесь останавливаться не будем.

Напомним для дальнейшего, что при плоской деформации

где значения постоянной Ламе X и коэффициента Пуассона для участка