§ 5. Замена координат. Инвариантная квадратичная форма. Тензор напряжений.

Формула (3) § 4 позволяет вычислить проекцию на любое направление вектора напряжения, действующего на данную площадку. В частности, мы можем применить эту формулу для вывода формул перехода от одной системы прямоугольных осей к другой системе

Пусть косинусы направлений осей «новой» системы по отношению к осям «старой» заданы следующей таблицей:

В этой таблице, например, обозначают косинусы направления оси Ох относительно старых осей, т. е.

Компоненты напряжения относительно новой системы осей обозначим через и найдем формулы, выражающие эти «новые» компоненты через старые:

Формула (3) § 4 сразу же дает требуемые выражения. Например, для получим:

где обозначает вектор напряжения, действующего на площадку, нормальную к новой оси Следовательно, в формуле (3) § 4 надо взять

что дает первую из следующих формул, которые мы выписываем для справок (остальные получаются совершенно аналогичным путем):

Из этих формул, между прочим, следует одно важное соотношение. Именно, если сложим первые три из них и примем во внимание известные формулы

то получим:

Предыдущую формулу можно высказать так: выражение

инвариантно по отношению к преобразованию (прямоугольных, прямолинейных) координат. Можно дать еще следующую формулировку: сумма нормальных компонент напряжений, действующих на три взаимно перпендикулярные площадки, не зависит от ориентации этой тройки площадок.

Вернемся к формуле (3) § 4 и применим ее к вычислению нормальной компоненты напряжения действующего на площадку с нормалью

Пусть обозначает искомую нормальную компоненту, т. е. При будем иметь растягивающее нормальное напряжение, при сжимающее (давление).

Если — косинусы направления нормали то формула (3) § 4 даст простую и важную формулу:

Введем обозначение

Функция есть однородная целая рациональная функция второго порядка от т. е., как говорят, квадратичная форма переменных , Она имеет весьма простой геометрический смысл. Действительно, пусть обозначает вектор, нормальный к рассматриваемой площадке, направленный в ту же сторону, что и положительная нормаль Тогда

где длина вектора и формула (2) дает

Заметим теперь следующее. Величина по нашему определению имеет непосредственный физический смысл и потому не должна зависеть от выбора осей координат. Так же точно величина (квадрат длины вектора) не зависит от выбора осей координат. Следовательно, квадратичная форма не должна зависеть от выбора осей координат, т. е. должна быть инвариантной по отношению к преобразованию (прямоугольных, прямолинейных) координат.

Иными словами, если обозначают компоненты вектора относительно новых осей, квадратичную форму, составленную из таким же образом, как составлена из то мы должны иметь

или, подробнее,

Это равенство должно обратиться в тождество, если в левую часть вместо подставить их выражения (1), а в правую вместо их выражения через новые компоненты, т. е. согласно известным формулам аналитической геометрии положить:

Легко непосредственной проверкой убедиться, что это действительно так и будет. Для этого достаточно внести в правую часть формулы (5) выражения (6) и сравнить в обеих частях Полученной формулы коэффициенты при Тогда увидим, что для и т. д. получатся как раз выражёния (1).

Таким образом, для получения формул перехода (1) мы можем пользоваться только что указанным правилом, весьма удобным для практики. Именно, для получения этих формул достаточно написать формулу (5), внести в правую часть (или левую, если мы хотим получить формулы перехода от новых компонент напряжения к старым) выражения через (или обратные выражения через и сравнить коэффициенты при квадратах и произведениях переменных , (или

Свойство инвариантности квадратичной формы показывает, что компоненты напряжения суть компоненты (симметричного) тензора второго ранга; этот тензор называется тензором напряжений.