§ 53. О характере сходимости рядов Фурье.
Напомним еще одно простое предложение, касающееся характера сходимости рядов Фурье.
Если функция
непрерывна и имеет непрерывные производные вплоть до порядка
в промежутке
кроме того, производную порядка
удовлетворяющую условиям Дирихле в том же промежутке, то коэффициенты
ряда Фурье (1) § 52 удовлетворяют неравенствам вида
где С — положительная постоянная.
Из этого, очевидно, следует, что коэффициенты
комплексного ряда Фурье (7) § 52 удовлетворяют также неравенствам вида
если только
удовлетворяют условиям, которые были перечислены выше для
Уже при
в случае, когда функция имеет первую производную, удовлетворяющую условиям Дирихле, будем иметь:
откуда следует, что ряд Фурье для
будет равномерно и абсолютно сходящимся. Действительно имеем:
значит, члены ряда (1) меньше по абсолютной величине, чем члены сходящегося ряда с положительными членами, не зависящими от Ф: