§ 53. О характере сходимости рядов Фурье.

Напомним еще одно простое предложение, касающееся характера сходимости рядов Фурье.

Если функция непрерывна и имеет непрерывные производные вплоть до порядка в промежутке кроме того, производную порядка удовлетворяющую условиям Дирихле в том же промежутке, то коэффициенты ряда Фурье (1) § 52 удовлетворяют неравенствам вида

где С — положительная постоянная.

Из этого, очевидно, следует, что коэффициенты комплексного ряда Фурье (7) § 52 удовлетворяют также неравенствам вида

если только удовлетворяют условиям, которые были перечислены выше для

Уже при в случае, когда функция имеет первую производную, удовлетворяющую условиям Дирихле, будем иметь:

откуда следует, что ряд Фурье для будет равномерно и абсолютно сходящимся. Действительно имеем:

значит, члены ряда (1) меньше по абсолютной величине, чем члены сходящегося ряда с положительными членами, не зависящими от Ф: