ДОБАВЛЕНИЕ III. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПО ЗАДАННОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОТ ГОЛОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ

1. Пусть

— функция комплексного переменного голоморфная в некоторой области плоскости Как известно, в этом случае действительная и мнимая части связаны соотношениями Коши — Римана:

Из элементов теории функций комплексного переменного известно, что, обратно, если две однозначные действительные функции имеющие непрерывные первые производные, связаны соотношениями (2), то является голоморфной функцией переменной z в данной области.

Функция связанная с данной функцией соотношениями (2), называется сопряженной с ней.

Не всякая функция может быть действительной частью голоморфной функции комплексного переменного. Действительно, дифференцируя уравнение (2) соответственно по х и по у и складывая, получаем:

значит, функция должна быть гармонической; точно так же можно показать, что должна быть гармонической. Под гармонической функцией во всем дальнейшем мы будем понимать функцию, удовлетворяющую (в данной области уравнению (3) и имеющую непрерывные производные до второго порядка. Мы будем считать также во всем дальнейшем, что функция однозначна.

Легко показать, что ко всякой гармонической функции можно подобрать сопряженную функцию Действительно, на основании

уравнения (2) имеем для определения

Условие существования функции (см. Добавление II) в нашем случае сводится к следующему.

которое соблюдено в силу уравнения (3). Следовательно, функция определяется с точностью до произвольной постоянной формулой

где произвольный путь, соединяющий некоторую (произвольную) постоянную точку с переменной точкой и не выходящий из данной области

Формулу (4) можно переписать в несколько более простом виде. Пусть обозначает касательную к пути интегрирования (направленную в сторону движения от нормаль, направленную вправо, если смотреть вдоль (рис. 15 на стр. 110). Тогда

где элемент пути интегрирования, и, следовательно,

Значит, формула (4) может быть переписана так

В случае, когда область односвязна, функция определенная формулой (4) или (4), будет однозначна, и на основании сказанного функция

будет голоморфна в области она определяется при заданном с точностью до чисто мнимой произвольной постоянной

В случае многосвязной области функция где определяется формулой (4) или (4), будет голоморфной во всякой односвязной области, выделенной из (и, в частности, в разрезанной области см. Добавление II). Но если ничем не ограничить путь интегрирования (кроме условия, чтобы он заключался в функция может оказаться

многозначной. А именно, при обходе по замкнутому контуру, охватывающему один из контуров (обозначения здесь те же, что в Добавлении II), функция прирастает на некоторую постоянную а следовательно, функция получает чисто мнимое приращение Постоянные определяются формулами:

интегралы могут быть взяты также по самим линиям если частные производные функции непрерывны вплоть до границы.

Для того чтобы функция была однозначна в многосвязной области необходимо и достаточно, чтобы все постоянные равнялись нулю.

2. В связи с предыдущим сделаем еще одно замечание относительно" неопределенного интеграла от голоморфной в некоторой области функции Под неопределенным интегралом

мы понимаем функцию, определяемую равенством

где интеграл взят по произвольному пути, не выходящему из соединяющему произвольную неподвижную точку с переменной точкой произвольная (вообще комплексная) постоянная.

Если односвязная область, то будет однозначной функцией. Это следует из того, что в силу известной теоремы Коши интеграл

взятый по любому замкнутому контуру, равен нулю, а значит,

не зависит от пути интегрирования (ср. аналогичные рассуждения в Добавлении II, п. 2).

Если же область многосвязная (мы будем считать, что она, имеет вид, указанный в п. 1 Добавления II), то функция может оказаться многозначной, именно: при обходе по контуру один раз. охватывающему (обозначение см. в Добавлении II), она получит приращение

Интеграл в правой части, вообще говоря, будет отличен от нуля, ибо область, заключенная внутри не принадлежит целиком области Величина не зависит от выбора контура лишь бы он один раз охватывал контур не пересекая других купюр, кроме и описывался в определенном направлении. Это может быть доказано совершенно тем же путем, как аналогичное обстоятельство относительно функции доказанное в п. 2 Добавления II. Рассуждая точно так же, как в Добавлении II, легко установить, что функция определяемая формулой (1), может быть представлена в виде

где однозначно определенная функция в разрезанной области целые числа, определяемые совершенно так же, как в Добавлении II.