§ 14. Деформация общего вида.

Рассмотрим теперь деформацию сплошного тела самого общего вида. Пусть точка тела, имевшая до деформации координаты х, у, z, переходит вследствие деформации в положение

Положим:

обозначают компоненты вектора который выражает смещение точки происшедшее вследствие деформации. Этот вектор мы будем называть вектором смещения или просто смещением, а компонентами смещения. Так как различные точки тела смещаются, вообще говоря, различным образом, то будут функциями координат х, у, z первоначального положения рассматриваемой точки:

Во всем последующем (если противное не оговорено особо) мы будем считать, что функции не только однозначны и непрерывны, но имеют непрерывные производные до третьего порядка включительно.

Выделим вокруг какой-либо точки (х, у, z) рассматриваемого тела бесконечно малую его часть и посмотрим, как изменится она вследствие деформации. Для этого достаточно изучить изменение бесконечно малых векторов, имеющих начало деформации) в точке Пусть

один из таких векторов. После деформации точка перейдет в а точка так что вектор обратится в вектор Вычислим векторное приращение вектора т. е. векторную разность

Координаты точки суть:

координаты же точки имевшей до деформации координаты

будут:

Поэтому компоненты вектора будут:

Наконец, компоненты вектора будут:

Но на основании известной формулы дифференциального исчисления имеем:

где обозначает бесконечно малую высшего порядка по сравнению с Отбрасывая ее и поступая аналогично с остальными компонентами, получаем окончательно:

в этих формулах значения и т. д. берутся для точки (х, у, z) и не зависят

Эти формулы показывают, что с точностью до бесконечно малых высших порядков относительно линейных размеров рассматриваемого элемента тела изменение этого элемента выражается аффинным преобразованием с коэффициентами

До сих пор мы не делали никаких ограничительных предположений относительно порядка малости компонент смещения Будем теперь считать (это условие мы принимаем раз навсегда), что компоненты смещения а также их производные по х, у, z суть бесконечно малые величины, квадратами и произведениями которых можно пренебречь

по сравнению с самими этими величинами. Тогда преобразование (3) будет бесконечно малым преобразованием и к нему применимо все сказанное в предыдущих параграфах.

Мы знаем, что чистая деформация рассматриваемого элемента выражается формулами (§ 12):

где суть компоненты деформации, определяемые формулами

К чистой деформации присоединяется, вообще говоря, еще жесткое перемещение рассматриваемого элемента, состоящее из бесконечно малого вращения с компонентами:

и поступательного перемещения, равного перемещению самой точки компонентами этого поступательного перемещения будут значения в точке .

Существенная разница между рассматриваемой здесь деформацией и однородной (§ 10) заключается в том, что здесь компоненты деформации зависят от положения рассматриваемого элемента тела, т. е. от координат х, у, z. В частности, направления главных осей деформации изменяются при переходе от одной точки к другой.

Так же точно, конечно, компоненты вращения зависят, вообще говоря, от

Напомним, наконец, что величина

инвариантна по отношению к преобразованию прямоугольных координат и представляет собой относительное объемное расширение. Так как здесь мы имеем уже дело с неоднородной деформацией, то речь идет, конечно, о расширении элемента объема, выделенного в окрестности данной точки.

Существенная часть изложенных выше свойств деформации была впервые получена Коши.