§ 31. Комплексное представление бигармонической функции.
Как сейчас будет показано, всякая бигармоническая функция 
двух переменных х, у может быть весьма просто представлена при помощи двух функций комплексного переменного 
Это обстоятельство имеет громадное значение для теории бигармонического уравнения и, в частности, для плоской теории упругости, так как свойства функций комплексного переменного хорошо изучены вообще.
В § 30 уже была введена формулой (10) функция комплексного переменного
Легко непосредственно проверить на основании формул (11) § 30, что функция 
гармоническая, т. е. что
Поэтому
где 
некоторая гармоническая функция в рассматриваемой области 
Пусть теперь 
обозначает аналитическую функцию комплексного переменного z, действительной частью которой является 
Если область 
как мы пока предполагаем, односвязна, то функция 
будет голоморфной в этой области.
Тогда, очевидно, можем написать:
где 
заменяет слова «действительная часть», а
вообще, если А обозначает некоторое комплексное число 
то через А мы будем обозначать комплексно сопряженное число а 
так что, например,
При этих обозначениях формулу (1) можно написать так:
Это и есть искомое выражение. Оно было впервые дано Гурса (Goursat [2]) в несколько ином виде и получено совершенно иным путем. Однако в дальнейшем нам придется пользоваться не этим выражением для функции 
а выражениями для ее частных производных, так как именно производные функции 
имеют непосредственное физическое значение. Легко вычислить, что
При первом взгляде на эти формулы убеждаемся, что вместо рассмотрения выражений для
удобнее рассматривать выражение для комплексной комбинации
которое гораздо проще. Именно ясно, что
где для краткости положено:
Возвращаясь к выражению (2), заметим, что, обратно, всякое выражение вида (2) представляет собой бигармоническую функцию, если 
голоморфные функции комплексного переменного z.
Действительно, дифференцируя первое из уравнений (3) по х, а второе по у, и складывая, получаем сразу:
откуда следует, что 
гармоническая функция. Следовательно,
Формула (6) показывает кроме того, что задание выражения 
вполне определяет действительную часть функции 
