§ 15. Определение смещений по компонентам деформации. Условия совместимости Сен-Венана.

В § 14 мы вывели формулы, дающие возможность вычислять компоненты деформации по компонентам смещения, заданным как функции координат х, у, z. Мы ставим теперь обратную задачу: вычислить компоненты смещения, если заданы компоненты деформации как функции х, у, z. Решению этой задачи мы предпошлем несколько предварительных замечаний, позволяющих заранее предугадать некоторые результаты.

Компоненты деформации определяют, как мы видели, изменение формы бесконечно малого элемента тела вблизи данной точки. Таким образом, задание компонент деформации как функций координат х, у, z определяет изменение формы каждого бесконечно малого элемента тела. На основании сказанного почти очевидно, что указанное задание определит и деформацию всего тела как целого, т. е. определит значения смещений как функций от х, у, z; ясно также, что определение не может быть совершенно полным. Действительно, если найдены смещения, соответствующие данным компонентам деформации, то, присоединив произвольное (бесконечно малое) перемещение всего тела как жесткого целого, мы получим другие значения смещений, соответствующих тем же самым компонентам деформации, ибо жесткое перемещение всего тела никакого влияния на деформацию не оказывает. Чтобы сделать задачу определенной, можно, например, дополнительно задаться смещением какой-либо произвольно выбранной точки тела, а также компонентами вращения в этой точке.

Заметим еще следующее. По принятому выше условию компоненты однозначны и имеют непрерывные производные до третьего порядка. Значит, задаваемые компоненты деформации должны быть также однозначны и иметь непрерывные производные до второго порядка; это условие мы будем считать выполненным. Легко, однако, убедиться заранее, что величины должны удовлетворять еще определенным соотношениям, для того чтобы задача имела решение. Это следует уже из такого грубого рассмотрения. Представим себе тело разбитым на бесконечно малые элементы, скажем, кубики (не считая элементов, примыкающих к границе). Если мы подвергнем каждый кубик деформации с заданными компонентами и затем попытаемся вновь сложить полученные бесконечно малые параллелепипеды так, чтобы точки их граней, соприкасавшихся до деформации, снова соприкасались, то это окажется, вообще говоря, невозможным: при попытке сложить отдельные элементы между некоторыми из них или образуются зазоры, или грани элементов, которые должны были бы совпасть, окажутся сдвинутыми друг относительно друга, или, наконец, для некоторых элементов не окажется достаточно места. Это и показывает, что компоненты деформации должны удовлетворять некоторым соотношениям, для того чтобы была возможна деформация без разрывов.

Все это мы сейчас строго докажем, фактически решая поставленную задачу. Итак, пусть требуется найти функции удовлетворяющие условиям:

где заданные однозначные функции от х, у, z, имеющие непрерывные производные до второго порядка.

У нас, таким образом, имеется шесть уравнений для определения трех неизвестных функций. Это еще раз указывает на то, что задача не может иметь решения, если заданные функции не подчинены некоторым дополнительным условиям; эти условия мы найдем, решая нашу задачу.

Пусть V — область, первоначально занятая телом; это есть область изменения х, у, z, в которой заданы функции и в которой ищутся функции

Мы будем предполагать пока, что область V односвязна. Напомним, что односвязной называется область, обладающая следующим свойством: всякий замкнутый контур, проведенный внутри области, может быть стянут в одну точку путем непрерывного изменения, не выводящего контур из области. Такою областью является, например, область, занятая шаром, кубом и пр. (подробнее об этом см. в Добавлении II).

Пусть какая-либо точка нашей области, значения компонент смещения, а значения компонент вращения в этой точке. Пусть какая-либо другая точка области Поставим себе задачей найти значения компонент смещения в этой точке.

Пусть обозначает какую-либо линию, соединяющую точки и находящуюся в области Если бы значения частных производных функции и были нам известны во всей области V, мы смогли бы найти значение функции и в точке по формуле

где интеграл взят по кривой Но мы имеем:

определяются формулами (6) предыдущего параграфа. Следовательно,

Под знаком первого интеграла фигурируют исключительно заданные функции. Займемся теперь вторым. Имеем:

откуда, интегрируя по частям, получаем:

Чтобы вычислить последний интеграл, необходимо знать выражения для или, что все равно, выражения для частных производных первого порядка функций Но, как показывает непосредственная проверка,

Подставляя эти значения в выражения

получаем на основании (а) и (б) первую из нижеследующих формул; две другие получены из первой путем круговой перестановки букв:

где для краткости введены обозначения:

Значения получаются из предыдущих путем круговой перестановки букв (одновременно переставляются между собой буквы и буквы х, у, z).

Формулы (4) по существу совпадают с формулами, найденными Вольтерра (V. Volterra) путем преобразования формул, данных Кирхгоффом. Приведенный здесь вывод их принадлежит Чезаро (Е. Cesaro), который придал формулам Вольтерра более симметричный вид.

Полученные формулы (4) определяют компоненты смещения в любой точке тела, если даны компоненты смещения и вращения в какой-либо одной, раз навсегда выбранной, точке

Выражения, полученные для смещений, содержат интегралы, взятые по некоторой линии, соединяющей точки Но ведь должны быть функциями от и не зависеть от пути интегрирования Следовательно, для того чтобы наша задача имела решение, необходимо, чтобы интегралы, фигурирующие в формулах (4), не зависели от пути интегрирования.

Как легко видеть, для независимости интеграла

от выбора пути необходимы и достаточны условия 4)

Для двух других интегралов получим аналогичные условия путем круговой перестановки букв. Эти условия должны быть соблюдены во всех точках в области V и для всех значений в той же области.

Представляя эти условия в явной форме, увидим, что все они сводятся к шести следующим:

Например, условие

дает на основании формул (5) после некоторых сокращений

Так как это соотношение должно быть справедливо при всяких в данной области, то должно быть:

Эти соотношения совпадают с двумя последними соотношениями правого столбца формул (6). Таким же образом получим все остальные. Заметим, что формулы, фигурирующие во второй и третьей строках (6), могут быть получены из формул первой строки путем круговой перестановки.

Условия (6) называются условиями совместимости Сен-Венана (Ваггё de Saint-Venant, 1797-1886), так как были впервые найдены им. Они дают нам математическое выражение тех соотношений, которым должны удовлетворять компоненты деформации, для того чтобы была возможна деформация без разрывов (см. начало настоящего параграфа), и потому называются иногда условиями неразрывности.

При соблюдении этих условий формулы (4) дают вполне определенные выражения для не зависящие от выбора пути интегрирования, и легко непосредственно проверить, что найденные таким образом смещения действительно удовлетворяют уравнениям (1). При этом постоянные

остаются совершенно произвольными, как мы и предвидели заранее. Изменяя эти постоянные, мы сообщим только жесткое перемещение всему телу, как это видно из формул (8) § 12. В частности, если

80 всей области, то мы получим, полагая для простоты и отбрасывая значки

т. е. только жесткое перемещение тела как целого.

До сих пор мы предполагали, что область V односвязна. Рассмотрим теперь случай многосвязной области, т. е. такой области, что внутри

нее существуют замкнутые контуры, которые нельзя стянуть в одну точку, не разрывая их и не выводя из области. Примером многосвязной области может служить тор, т. е. тело, образованное вращением круга вокруг оси, лежащей в его плоскости и не пересекающей его (рис. 9).

Многосвязное тело можно превратить в односвязное, производя надлежащие разрезы; например, в случае тора достаточно разрезать его по одному из меридиональных кругов, изображенных на рис. 9. К разрезанной таким образом области применимо все сказанное выше. Именно, при соблюдении условий совместимости Сен-Венана компоненты определяемые формулами (4), будут однозначными функциями кбординат точки при этом, конечно, мы предполагаем, что путь интегрирования не выходит из разрезанной области, т. е. нигде не пересекает разрезов. Но при приближении точки к какой-либо точке разреза величины будут, вообще говоря, принимать различные значения в зависимости от того, с какой стороны приближается точка к разрезу.

Рис. 9.

Пусть суть значения получаемые при приближении к некоторой точке разреза с той или с другой стороны. Условие неразрывности деформации для всего тела в целом будет выполнено только в том случае, если наряду с условиями совместимости (6) соблюдены и дополнительные условия:

вдоль всех разрезов, мысленно проведенных в теле с целью сделать его односвязным. При несоблюдении добавочных условий (7) придется допустить наличие разрывов вдоль упомянутых разрезов и даже проникновение частей тела друг в друга в этих местах.

Из сказанного ясно, что если условия (7) не соблюдены и если мы станем определять функции по формулам (4) в неразрезанной области, т. е. допускать, что линия интегрирования может пересекать разрезы, тогда функции окажутся многозначными функциями от при обходе по некоторым замкнутым контурам функции не будут возвращаться к своим исходным значениям; это может иметь место, как легко видеть, только в случае контуров, не сводимых к точке путем непрерывного изменения (см. также Добавление II).

На это обстоятельство впервые указал Мичелл (Michell [1]). Тимпе (Timpe [1]) указал для случая плоской задачи теории упругости возможность физической интерпретации многозначных смещений. Для общего

случая трех измерений вопрос о значении многозначных смещений был подробно исследован Вольтерра в ряде работ; сводка этих работ дана в его уже названном мемуаре. Этот вопрос будет нами подробно изучен для двумерного случая в главе II (отдел III).